No.51
高木貞治 『解析概論』
レス数: 298
概要: しょっちゅうエネルギー補給が必要だったからではないか
No.52
小林微分積分読本も、
変数変換公式を有開閉領域の場合にしか示していないのに
∫_-∞^∞ ∫_-∞^∞ exp(x^2 + y^2) dx dy
= ∫_0^2π ∫_0^∞ exp(r^2) r dr dθ
と断りなく変形しています
No.53
小林さんはいい加減なので全く驚きません。
No.54
No.55
一松信は、これちゃんと厳密に成り立つことを示してる
溝畑は、変数変換公式自体を、積分が絶対収束する場合にまで拡張している（ただ、ここまでやるならルベーグ積分でいい気はする）
No.56
本人はトリビアを披露して得意げ
はたから見たらみっともないだけ
No.57
No.58
どうせ買っただけで大して読んでないんだろ？（笑）
No.59
No.60
No.61
No.62
目覚ましい応用、極めて明確に、もっとも著しい特徴、より濃密な考察などなど。
学生にとっては印象に残って勉強した気になるのかもしれないけど、我々にとっては論理の連鎖だけの方がいい。
脳内に無駄なノイズが入ってくる感覚だわ。
No.63
No.64
数学に興味があるなら数学者の書いた本を読むべきだし、物理や工学に興味があるなら、物理学者や工学者の書いた本を読むべき
予備校講師が書いた線形代数に何を求めてるの？
No.65
No.66
読み始めたんで惰性で読んどった。
あと、長岡先生という人の本で、以前放送大学で講義してるところを見たことがあったんで。
人には薦めないな。
No.67
あんな人でも数学が得意な人という位置づけだったそうですね。
No.68
２点を通る直線と
３点を通る平面について
素心深考してみれば大体の見当はついてくる
No.69
俺もどちらかというと議論がチャランポラン扱いされる幾何学系寄りな私文の学部卒止まりだけど
山本義隆マンセーするならアーノルドの解析力学の教科書を読むわ。
No.70
天狗ザルの定理でしたっけ？
No.71
学部卒止まりで幾何学寄りってどういうこと？
学部卒止まりならたとえ数学科卒業でも専門なんか無いだろう。
No.72
No.73
No.74
ガウスの遺稿
No.75
演習がついていることはほぼない。
ただでさえ苦手意識を持っている学生が多いのに、そんなんで身に付くわけがない。
No.76
数学の成績が良いそうだ
No.77
エンジニアとして卒業させていいんだろうか。
東大なんかは文系でもガンガン数学をやらせればいいと思う。
無理やりでも勉強させればマスターする脳ミソはあるだろ。
せっかく東大に入った以上、退学にはなりたくないだろうから、きっと必死で勉強するよ。
No.78
No.79
No.80
No.81
f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞}a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …)
は正則で、また F(z) = Σ_{n=0}^{∞}f_n(z) は |z - z_0| ≦ ρ （ρ は ρ < r なる任意の正数）なるとき、
一様に収束するとする。
然らば a_k^(0) + a_k^(1) + … + a_k^(n) + … = Σ_{n=0}^{∞}a_k^(n) = A_k は収束して、
|z - z_0| < r なるとき F(z) = Σ_{k=0}^{∞}A_k (z - z_0)^k.
上の定理において、「f_n(z) = Σ_{k=0}^{∞}a_k^(n) (z - z_0)^k (n = 0, 1, 2, …) は正則」と仮定しているのはなぜでしょうか？
これはべき級数であるため、自動的に収束円内で正則になるのではないでしょうか？
No.82
No.83
正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。
この証明が粗雑ですね。
No.84
No.85
Σ a_n は正項級数ではないとする。
Σ a_n が負項級数の場合には、正項級数の理論に帰着するから、負項級数でもないとする。
Σ a_n の負項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は正項級数の有限個の項を負項に変えて得られる級数だから、正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数が有限の場合には、 Σ a_n は負項級数の有限個の項を正項に変えて得られる級数だから、負項級数の理論に帰着する。負項級数の理論は正項級数の理論に帰着するから、この場合も結局正項級数の理論に帰着する。
Σ a_n の正項の個数も負項の個数も無数にあるとする。
Σ a_n の第 i 番目の正項を p_i とする。
Σ a_n の第 i 番目の負項を -q_i とする。
Σ a_n が絶対収束する場合には、 Σ p_i ≦ Σ |a_n|, Σ q_i ≦ Σ |a_n| だから Σ p_i, Σ q_i ともに収束する。
p := Σ_{i=1}^{∞}p_i, q := Σ_{i=1}^{∞}q_i とする。
「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」
この命題を使うと、 Σ |a_n| = Σ p_i + Σ q_i が成り立つことが分かる。
ε を任意の正の実数とする。
n > N_p ならば、 |Σ_{i=1}^{n}p_i - p| < ε/2, n > N_q ならば、 |Σ_{i=1}^{n}q_i - q| < ε/2 が成り立つとする。
p_i = a_{φ(i)}, -q_i = a_{ψ(i)}とする。
N_1 := max {φ(1), φ(2), …, φ(N_p)}, N_2 := max {ψ(1), ψ(2), …, ψ(N_q)}とする。
n > max {N_1, N_2}ならば、 |Σ_{i=1}^{n}a_i - (p - q)| = |(Σ_{i=1}^{l}p_i - p) - (Σ_{i=1}^{m}q_i - q)|
≦ |Σ_{i=1}^{l}p_i - p| + |Σ_{i=1}^{m}q_i - q| < ε/2 + ε/2 = ε が成り立つ。
よって、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。
No.86
p_1, q_1, p_2, q_2, … という数列を (b_i) とする。
Σ_{i=1}^{n}b_i ≦ Σ p_i + Σ q_i だから Σ b_i は収束する。
数列 (b_i) を並べ替えれば数列 (|a_i|) が得られるから、
Σ |a_i| も収束して、 Σ |a_i| = Σ b_i が成り立つ。
よって、 Σ a_i は絶対収束する。
前半の議論から、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。
以上の結果をまとめると、
「Σ a_n が絶対収束する ⇔ Σ p_i, Σ q_i が収束する」が成り立つ。
上のどちらかが成り立てば、 Σ a_n = Σ p_i - Σ q_i が成り立つ。
No.87
No.88
43の絶対収束級数の話もこれくらい丁寧に書いてほしいものです。
No.89
No.90
「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、収束の場合、部分級数も収束する。その和を σ_1, σ_2, … とすれば、 σ_1 + σ_2 + … も収束して、その和は s に等しい。」
を証明するだけではなく、
「正項級数 Σa_n を無数の部分級数に分割するならば、各部分級数が収束の場合、 Σa_n も収束する。」
も証明すべきだったということですね。
No.91
この命題ですが、有名なオイラー公式を証明するときに、 sin のパートと cos のパートに分けるときに必要になりますよね。
No.92
曲がりなりにも大物が書いた大著だが。
No.93
No.94
絶対収束しないが条件収束をする実数級数は、
項の順序をうまく変更することで、任意の実数値に収束するように、
（あるいは発散するようにも）変形できる。
こういうことを書いてある本をあまり見かけないようだった。
No.95
「若干項の和は絶対値において (p + q) / (2 * n) よりも小である」と書いてありますが、これ間違っていますよね。
No.96
今どきそんな定理を細かくやるよりももっと優先してやるべきことがある
No.97
斎藤毅さんが同じことを書いていました。
ですが、そういうことを徹底していくと、本当につまらない本になってしまうと思います。
No.98
についてですが、「1/n よりも小である」というのがもっとも自然な評価だと思います。
No.99
「次の数学の分野を勉強するため」としか考えていないのではないでしょうか？
No.100
