No.1
高木貞治 『解析概論』
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概要: 高木貞治 『解析概論』
No.2
No.3
佐武一郎『線型代数学』
松坂和夫『集合・位相入門』
雪江明彦『代数学1 群論入門』『代数学2 環と体とガロア理論』
L.V.アールフォルス『複素解析』
伊藤清三『ルベーグ積分入門』
松本幸夫『多用体の基礎』
黒田成俊『関数解析』
小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』
No.4
No.5
Munkres, Analysis on Manifolds.
一松信 解析学序説 上, 下
杉浦光夫 解析入門 1, 2
永田雅宜 理系のための線型代数の基礎
堀田良之 代数入門
斎藤毅 集合と位相
雪江明彦 代数学 1, 2
Tu, Introduction to Manifolds.
河澄響矢 トポロジーの基礎 上, 下
Bott-Tu, Differential Forms in Algebraic Topology.
神保道夫 複素関数入門
Ahlfors, Complex Analysis.
伊藤清三 ルベーグ積分入門
Rudin, Real and Complex Analysis.
No.6
モース理論
超関数論
No.7
No.8
→スキーム論
→C*環 簡約代数群 リー代数
No.9
良い本は無い
大学の講義や演習を活用し、自力で感覚をつかむしかない
高木 解析概論
の4章までは、初等関数を中心とした具体的計算が多く、非常に良い
小林 微分積分読本
は最低限知っておくべき事項が網羅されている
演習問題が無いのが欠点
笠原 微分積分学
スタンダードな一冊
字が細かいので見た目よりボリュームがある
あと安い
Munkres, Analysis on Manifolds
他変数の微分積分はこれが最も良いと思われるが結局、多様体とルベーグ積分をやらないと見通しは良くならないと思う
線型代数
これも良い本は無い
齋藤 線型代数入門
幾何ベクトルの復習から入り、行列の指数関数など解析の話題も扱っており、バランスが良い
行列の標準化で単因子を使っているところが、初学者にはつらいところ
永田 理系のための線型代数の基礎
最初から抽象ベクトル空間を導入して最短経路を進む、とくに行列の標準化の章は極めて見通しがよい。付録も面白い
計算例が乏しいことと、最終章が完全な蛇足なのが良くない
佐武 線型代数学
専門家が読んでも得ることがあるくらい内容充実
学部一年には難しすぎる（とくにテンソル代数の章は）
斎藤 線形代数の世界
現代的な本だが、行列式よりも前にジョルダン標準形の存在が示されるなど、初学者が読むことを全く想定していない
No.10
どれを読んでも同じ
気に入った本を読めばいい
斎藤 集合と位相
個人的にはこれがおすすめ
位相に関する定理が実用的な形で述べられている。たとえば代数幾何でザリスキ位相みたいな変わった位相を扱うときは、開基に対する議論に帰着させることがよくあるが、そういうことがきちんと書かれている
また、コンパクト性を固有射によって特徴付けているのも、ブルバキ以外ではこの本だけ
濃度の細かい話をバッサリ削ってるのも実用的。そんなの数学やってて使わないからね
No.11
これも理論と実例をバランスよく含んだ本はあまり無い
留数定理までの初歩的な部分の実例は
一松 解析学序説 下
杉浦 解析入門 2
溝畑 数学解析 下
などの解析学全般の入門書を見るのがいいと思う
神保 複素関数入門
もよい
理論面では
吉田 函数論
Ahlfors, Complex Analysis
がよいと思うが、これらの本の後半部は、リーマン面や楕円曲線など具体的な分野にどんどん進んで、必要になったらその都度復習すればいいと思う
No.12
雪江 代数学 1, 2
これ一択
洋書含めても最強の教科書
代数幾何の予備知識としていいのは
堀田 代数入門
永田 可換体論
の2冊
永田は3章以降が便利で、基礎体が代数閉体とは限らない時の代数幾何、局所体でない付値体、無限次ガロア理論などが必要になった時に役に立つ
どちらも具体例はほぼゼロ
これも完璧にするよりも、さっさと代数幾何・整数論・表現論などの興味ある研究に進んで、必要になったら復習するのがいい
No.13
Tu, Introduction to Manifolds
これが一番いいんじゃないか
線形代数の復習が入ってるし、ユークリッド空間内の話から始めているし、ベクトル束や関手などを使っていて説明が現代的だし、例が豊富だし、ド・ラムコホモロジー群の計算例もある
ページ数は多いが、行間が少なく、ほとんどが説明や計算例なので、わりとサクサク読めるはず
代数トポロジー
河澄 トポロジーの基礎 上, 下
これ一択
代数トポロジーは、初学者向けで本格的なレベルまで載ってる本がほとんど無かったのが、これで解決した
No.14
伊藤 ルベーグ積分入門
Rudin, Real and Complex Analysis
ルベーグ積分は、何を読んだって苦痛だから
このふたつの気に入ったほうを読めばいい
No.15
ちゃんと証明するにはどうすればいいですか？
No.16
小林昭七さんの本のどこがいいのかさっぱり分かりません。
笠原さんの本も好きになれません。リーマン積分は確か主に連続関数の場合しか扱ってなかったですよね？
No.17
James R. Munkres著『Topology Second Edition』がベストです。
No.18
雪江さんの本ってそんなにいいですか？
Michael Artin著『Algebra Second Edition』のほうがいいと思います。
No.19
Sheldon Axler著『Linear Algebra Done Right Fourth Edition』がスッキリしていて分かりやすいと思います。
テンソルについても初歩的な部分が書いてあります。
No.20
James R. MunkresさんがAlgebraic Topologyの本を書いていますね。
きっと、ベストなのではないでしょうか？
No.21
Leeさんの本のほうが分厚いですね。
No.22
伊藤清三さんの本は何か洗練されていない感じがします。それがいいところなのかもしれませんが。
Sheldon Axlerさんの本がベストだと思います。
No.23
この本を流し読みした後に、普通の本で留数定理あたりまでの議論の穴埋めをするのがいいのではないかと思いました。
解析概論は基礎になる複素線積分の詳細を省いていますが、読みやすいですね。
∫_{C}a + b * z dz を例で具体的に計算していたり、 f がある領域で正則で、導関数が 0 ならば定数になるということを例で示していたりします。
一般論から分かることですが、その前に例で証明しているのがいいと思います。
f がある領域で正則で、 |f| が定数ならば、 f が定数であることも例で証明しています。
No.24
雪江のほうがいい
Artinの上位互換
この二つを比べてArtinが良いと言うのは、それは読んでいないということだ
No.25
ですが、説明が分かりやすいとは思いませんでした。
Artinさんの本は線形代数について沢山書いてあったり、雪江さんの本とは似ていないと思います。
No.26
で、躓いた箇所を見てみるとたしかに分かりづらい書き方になっている
まあ、しかしほかの本にはもっと分かりづらいところがあるのだろう
No.27
No.28
lee は700ページもあるが、頑張れば通読可能と思われる
warnerは層係数コホモロジーを扱っていて、ホッジの分解定理を示している
しかし、そこまでやるならgriffiths-harrisやwells、和書なら小林複素幾何を読めばいい気がする
No.29
代数トポロジストにとっての代数トポロジーの本はあるんだろうが、
FultonのAlgebraic Topologyのような代数幾何学者のための代数トポロジーみたいな本がなかなかない
整数論やるための測度論だとか、表現論やるための関数解析だとか、そういうのはわりとあるのだが
No.30
欠点はやはり証明がスケッチ風で、究極的な細部まで書かれていないことだと思います。
志賀浩二さんの本をまともにした感じの本だと思います。
No.31
No.32
「外伝」が真実
No.33
∫ ω = ∫ dη = ∮η
No.34
No.35
シンプルな多角形が三角形に分割できることの証明ですが、以下のような感じでどうでしょうか？
シンプルな多角形が凸な場合には、任意の頂点 i と隣接する頂点 i - 1, i + 1 の3点を頂点とする三角形は問題の多角形の部分集合です。
その三角形を取り除いた多角形もシンプルな凸多角形で頂点の数は 1 減っています。
あとは、頂点の数に関する帰納法で証明します。
凹んでいる場合ですが、凹んでいる三角形の頂点 i - 1, i, i + 1 を考えます。
頂点 i - 1 と i + 1 を結び、凹んでいる多角形の凹んでいる部分を「修復」します。
凹みがなくなるまでこの作業を繰り返します。
作業完了後、凸多角形ができあがります。
この凸多角形は三角形に分割できます。
ここからどうすればいいですかね？
「修復する」ために使用した三角形をすべて除去した後に残されたオリジナルの多角形に分割の線がひかれていますが、それは一般には三角形分割ではありません。
No.36
Rudin, Principles of Mathematical Analysis
No.37
その本は多変数のところを読んでいませんが、厳密なんですか？
もし、1変数の部分同様のクオリティならば読んでみたいのですが、多変数の部分の評判は芳しくないようです。
No.38
あの本のオリジナルの部分（初等函数をべき級数や複素積分によらずに構成しているところや、和と極限の順序交換の一様収束よりも緩い十分条件を与えているところ）は、ほとんど実用性がありません
そして、未定乗数法やベクトル解析などの他の多くの本に載っている重要事項が省略されてしまっています
No.39
変わった本ではありますが、書かれている部分に関しては、ネチネチと極めて丁寧に書かれています。
No.40
三角関数の定義の部分ですが、著者の考えでは発見的に書いているつもりなのでしょうが、ちょっと納得できません。
No.41
難しいことはない
No.42
No.43
No.44
ルベーグ積分をやれば済むことを無駄に詳細にやっている
副読書として「そういう話題もある」と楽しむ分にはいいが、メインの教科書にはならない
No.45
Rudinは多変数の積分をコンパクト台をもつ連続関数に限定していて計算例がほとんどないから、初学者がこれを読んで重積分の広義積分を習得するのはまず不可能
No.46
ただし陰関数定理は逐次近似法で短く証明していてよい
高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている
No.47
重積分の場合は４つくらい
No.48
＞高木も小平も溝畑も、読者のためではなく、自分のために書いている
これはそう思います。
巨匠気取りの人の本によくあることですが。
No.49
施されるだけではなく与えることを覚えましょう
独り言ではなくコミュニケーションを覚えましょう
No.50
おそらく隠居老人の趣味で書いているだけですよね。
盆栽を育てている感覚だったのではないでしょうか。
