ここには不確定性に詳しい人が多そうだから，前から気になってることを教えてくれ。
以前に質問スレで聞いたけど解決しなかった。
不確定性の説明で使われてるのに単スリットの問題がある。
-l 〜 l の幅2lのスリットだとすると，確率密度が1/2lなので波動関数は
ψ(x) = 1/√(2l) (-l < x < l)， 0 (|x| > l )
期待値は当然ゼロなので分散は二乗平均に等しく
σx^2 = (1/2l) ∫[-l -> l] x^2 dx = l^2 /3
まあ，これはいいとして，波数についての波動関数をフーリエ変換で求めると
ψ(k) = ∫ψ(x) e^(ikx}dx = √(2l) ( sin kl / kl )
確率密度は
|ψ(k)|^2 = (2l) ( sin kl / kl ^2)
で普通はこれの最初の極小までをkの不確定性(運動量の不確定性)として
Δx Δp 〜 h
となる例にしてる。だけど，ちゃんと計算してみると・・・・
kの期待値が0になるのはすぐわかるとして，分散は
σk^2 ＝ ∫k^2 |ψ(k)|^2 dk = 2l ∫ k^2 ( sin kl / kl )^2 dk = (2/l) ∫(sin kl)^2 dk -> 発散
となるので不確定性関係は
Δx Δp ＝ hbar Δx Δk 〜 hbar (l/√3) (無限大)
で，プランク定数程度のオーダーにはならないんだけど，どこか間違ってる？
それとも，何十年来，いくつかの量子力学の教科書はウソを教えていたってこと？ >>51
その場合、ΔxΔp=∞ で合ってる
一般に ψ(x) がコンパクトな台を持つときは Δp=∞ になる >>51
位置と運動量の標準偏差のあいだに成り立つ不確定性関係は、
σx σp ≧ h/4π
左辺が無限大に飛ぶことには何の問題もない
そもそも、
ψ(x) = 1/√(2l) (-l < x < l)， 0 (|x| > l ) という波動関数は端点で不連続だから、実は色々性質が悪い
運動量は波動関数の微分で、不連続点での微分は実際上は無限大とみなせるので、運動量の分布が無限大まで広がってしまう
だから、運動量の分散が無限大になっちゃう
分布の「幅」は標準偏差として定義されることが多いけど、それ以外の定義を考えることもできて、
特に標準偏差が発散するような分布では半値全幅なりなんなりを「幅」と見た方が都合がよい
不確定性関係の本質的な点は、位置分布の広がりと運動量分布の広がりのあいだにトレードオフの関係があるということだから、
「幅」をどう定義しようが、このトレードオフの関係が成り立っていることさえ見られれば不確定性関係の例として悪いわけでもない ごめん二段落目は無視してください。
多分52のひとが言っているのが正しい つまり，この場合にΔxΔpがh程度になると説明してある教科書は全部間違ってるし，
そういう説明はするべきではないということでいいのかな？
さらに言うと，ハイゼンベルグの顕微鏡の例も位置の不確定性を最初の極小点で見積もってるけど，
同じようにまともに計算すると発散するんじゃなかろうか？計算できないけど。
もしそうなら，初等的な教科書に書いてある不確定性の説明は，
小澤とは別の意味で全部ウソってことになりそうなんだけど。
初等的な教科書でどうやって最初に不確定性を持ち込んだらいいんだろう。
あきらめて触らない？ コンパクトサポートでも滑らかに0に落とせばいいような気がしてきた
ψ(x),ψ(p) の台が同時にコンパクトにならないってのと混同したかもしらん >>55
> つまり，この場合にΔxΔpがh程度になると説明してある教科書は全部間違ってるし，
この例で最初の極小点までの距離が標準偏差と等しい（もしくは同じオーダー）だと言い切っている教科書があったら間違いだけど、
そう言っているわけではないんじゃないの
分布の幅にトレードオフがあるというのが不確定性関係であって、それは最初の極小点までの距離を「幅」として定義しても成り立っていてほしいわけだから、
例としてはこれで悪くないと思うけど 優等生は先生を批判してはいけない、ましてウソだなんて
それでは優等生失格 >>51
箱に入れられた(ポテンシャル項無しという意味で)自由粒子系の場合，
座標表示において境界で０になる解しか物理的にはあまり意味がない。
このときに基底状態を計算してみるといい。
(なお，無限に高いポテンシャルで囲まれているという本もある)
相変わらず低レベルレス多いなぁ。 的外れな回答をしてレベル低いとか言ってるのを見るとかわいそうになってくるな スリットに垂直な方向はまた別に考察が必要で
あることを追記しておく。 >>60
なんで基底状態が出てくるのか分からん
> (なお，無限に高いポテンシャルで囲まれているという本もある)
なんて本？
あと、ポテンシャルの高さが有限なら、
基底状態の波動関数は境界で 0 にならないけど？ >>64
基底状態は計算しやすいからだけ。
-l から l の間は０，その他の領域では無限大の
値をとる(井戸型)ポテンシャルとみなすことができ，
また，無限に高いポテンシャルには進入できないので，
-l から l の外では波動関数は０になる。
また，シュレディンガー方程式は位置に関して二回微分可能
でなければならない。よって境界において０になる
(本当は連続性のみで十分)。
＞あと、ポテンシャルの高さが有限なら、
＞基底状態の波動関数は境界で 0 にならないけど？
この系特有の話で，一般論のように聞こえてたらごめん。 >>65
-d^2Ψ/dx^2=λΨ
dΨ/dx(+-l)、Ψ(+-l)の適当な境界条件
を解けといってる？ >>66
方程式はそれでよくて，
ΨおよびdΨ/dxに境界条件が必要です。
>>51
を問題としてしっかりするためには，
>>65
での議論のようになります。ですが，
どんどん高度化して〜hbar の例という
本質からどんどんずれていくので，
>>51
の方には定番の例である調和振動子で
感覚を養っていただくのが良いかも
しれない。そう思うようになりました。 位置と運動量の演算子を作用させる波動関数がシュレディンガー方程式の
解になっていないと物理的には意味がないらしい >>65
興味あるから、なんて本に書いてあるのか教えてくれないか？
シングルスリットの話で基底状態で計算してる本
> この系特有の話で，一般論のように聞こえてたらごめん。
いやその、
>>60
の書き方だと、有限の高さのポテンシャルで計算してる本もあるんだよね？
そうすると波動関数が境界で 0 にならないから、
「あまり意味がない」計算をしてることにならないか？ >>69
シングルスリットの計算を頑張っている本自体は
あまりないかもしれません。
>>51
ではスリットを
無限に高い井戸型ポテンシャルの系(箱に入れた自由粒子系とも)
に議論をすり替えてしまっています。ですので，
スリットにおいては無限に高い井戸型ポテンシャルの系として
扱ってもいいけれども，その他の領域では自由粒子として
扱わないといけません。 >>70
の続きで，
> この系特有の話で，一般論のように聞こえてたらごめん。
> いやその、
>>60
の書き方だと、有限の高さのポテンシャルで計算してる本もあるんだよね？
> そうすると波動関数が境界で 0 にならないから、
>「あまり意味がない」計算をしてることにならないか？
有限のポテンシャルと無限に高いポテンシャルとの境界では
０にならないといけないです(無限に高いポテンシャルの領域では
波動関数が０なので)。けれども，他の場合は意味のないことには
ならないです。 >>70
>>51
は井戸型ポテンシャルの問題に落としてないから
波動関数として一定値を取るものを採用してるんだろ
それに対して
>>60
が井戸型ポテンシャルの問題で考えなければいけないと言ってる。 >>71
の訂正
スリットの通過できる部分は有限ポテンシャルで，
通過できない部分は通常無限に高いポテンシャルです。
通常はスリットの扱いは数値計算の場合を除いて
雑な扱いになっており，境界条件をまともに扱っていない
場合が多いです。ですから，
>> この系特有の話で，一般論のように聞こえてたらごめん。
> いやその、
>>60
の書き方だと、有限の高さのポテンシャルで計算してる本もあるんだよね？
> そうすると波動関数が境界で 0 にならないから、
>「あまり意味がない」計算をしてることにならないか？
に対する正しいレスは，
通過できない部分を有限ポテンシャルで扱っている本はないけど，
境界を正しく扱わない場合は当然無意味です。 >>72
２次元での問題と考えることにすると，
スリット部分だけ箱型になる境界条件の下で
波動方程式を解け，という解答が正しく，
数値計算でしか太刀打ちできない問題に
なるから，仕方なく計算できる場合に
落とすとすれば井戸型ポテンシャルの問題になる。
それ故に，〜hbar の例は調和振動子を推したと
いうことです。言い訳に過ぎませんが。 >>74
遠方から自由電子的に飛んできた電子がスリットの位置で
井戸型ポテンシャルの固有状態になるという近似が正しいと思うの？ >>75
固有状態には決してならないが，
境界の影響は受けるのも明らかではある。
スリット壁において０になるという境界条件は
井戸型ポテンシャルにひきずられた精度の悪い
近似だが，手で計算できるもの中ではそれほど
悪くないはず。 自由粒子の出発点が定まっていないからスリットに平行な向きの
運動量の不確定さは無限大として問題ないだろうね これって通過直後の不確定性では。スリット内部とは境界条件がそもそもちがう。
スリット内部の不確定性は回折で見積もられる不確定性と同じにならないでしょ。
なるの？ スリット内での粒子を考えるって振り返ってみるとよくわからない設定だよね。
はじめから無限に高い井戸型ポテンシャルのことだったんじゃないの？ スリットで回折が起きずに単に通過していく場合の話だよ。 単に追加していくのならスリットの位置でほぼ平らで端だけ０になってる波動関数になるはずだね >>74
ああ、スリットの壁で弾性散乱が起こるって仮定してるのか
非弾性散乱なら波束の収縮が起きて
>>51
の ψ=1/√(2l) になるんじゃないか？ >>83
マジレスすると
>>74
はどう見てもそこまで考えてない >>83
ψ=1/√(2l)自体も荒い近似の結果だからなぁ。
運動量のやり取りをする場合を考えるのは尤もだし自然だが，
境界で０にならなくなるだけで計算は不可能に。
弾性散乱なら無限に高い井戸型ポテンシャルの固有関数を基底として
色々計算できる。どのみち運動量の標準偏差は無限大だけど。
通常考察するに値しないが，
波束が時間発展してスリットと平行な位置に到達したとき，
スリット幅よりも波束の幅が小さい場合も考えられるから，
この場合は決してψ=1/√(2l)にはならない。 >>85
運動量は弾性散乱でもやり取りされる
非弾性散乱って言ったのは例えば壁にあたった粒子が吸収される場合とか >>86
>>85
では表現が不適当でしたね。
>どのみち運動量の標準偏差は無限大だけど。
も嘘でしたし…
そのような場合を考察する場合はなおさら
ψ=1/√(2l)とはできないと思う。
吸収過程を入れて計算する必要がある。
それと，スリットを通過するのが前提という条件が
この問題にはついてまわっているから，
実はここで書いているよりももっと深刻。 なんか色々議論になっているけれど、元の質問の主旨は、
「この波動関数に対してΔxΔp〜hbarだと書いている教科書があるけれど、それって正しいの？」ということだと思うから、
実際にスリットを通ったときにどうのこうのだのは関係ないんじゃないかな >>87
もちろん、完全な弾性散乱だろうが ψ=1/√(2l) だろうが問題を理想化してるわけだけど、
それにしてもいきなり井戸型ポテンシャルの基底状態なんて言うのは、
説明はしょりすぎだし、物理的根拠なさすぎ。
言いたいことは分かったからこれ以上はつっこまないけど。
> 実はここで書いているよりももっと深刻。
それは別に原理的な困難はない。
>>88
> 実際にスリットを通ったときにどうのこうのだのは関係ないんじゃないかな
スリットを通った直後の波動関数の端での不連続性が Δp = ∞ になる原因だから、
関係あるのよ 小澤は、測定も量子力学で記述しようとしている。
だから、小澤の不等式には、測定による不確定性が付け加えられたんだな。 小澤の不等式に感心を持つ新しい人が増えている。
そういった人には、基本的なことからの解説が必要だろ。
「昔からそうジャン」というところをいくつか教えてやってくれ。 >>89
結局、回折像を波数の確率密度分布とみなすことは正しいの、正しくないの？
正しいなら、その逆変換である矩形関数が座標表示の波動関数になるのは必然だけど。
正しくないならどう修正されるのかを明らかにして。 位置と運動量の間の不確定さがｈバー程度になるためには
ある特定の境界条件を満たしていないといけないんだろうな 境界条件満たしてるだけでいいわけないだろ
一般的には不等式しか成り立たない 量子情報の数理：測定・論理・計算・不確定性原理
ttp://researchmap.jp/?action=cv_download_main&upload_id=23282 来月号の日経サイエンスの特集が出たら、また盛り上がるんじゃないの 