No.51
君・・・あの日？
君・・・あの日？
ℝ/ℚの代表元ってどんなの？
レス数: 118
概要: >>50 君・・・あの日？
君・・・あの日？
No.52
補足
(引用開始)
いまここで述べたことは
R/Qのヴィタリ集合 V が、いかに”ヘンテコリン”な集合であるかの
メンタルピクチャー (by 加藤文元)
を与えたのだよ
R/Qのヴィタリ集合 V だが、いまこれには
区間によらない 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのだ
(引用終り)
１）そもそも このスレのテーマは
>>1
"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"だった
その一つの切り口が
>>10
ヴィタリ集合Vで 加法の商群 R/Q
選択公理によって [0, 1] の部分集合で、R/Q の代表系になっているものが取れる という
２）言い換えると、選択公理にお任せだと
数直線 区間（-∞,+∞）に 普通には カスミの如く 薄く分散している
ルベーグ測度評価には不便だと
小さな 区間[0, 1]に終結させた
このとき、単純な仮定として 区間（-∞,+∞）に分散している状態と
区間[0, 1]に終結させた場合とで 測度は不変 とする
つまり ヴィタリ集合Vのルベーグ測度λ(V) は 前後で変わらないと
３）ところで、
>>14
の指摘したように
区間[0, 1]→区間 [0,a)
ただしaは有理数 有理数aは幾らでも0に近いものにしても構わない
で、この場合も λ(V)は 不変と仮定したとき
ε= 10^(-n) で [0,ε]
>>31
とすることで、区間によらない
つまり 有限固定値のルベーグ測度を与えることはできないこと示したのです
これは、"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"
に対する 一つの切り口で
>>20
の加藤文元 メンタルピクチャー を 一つ提供したってこと
さて もう一つの切り口で、"ℝ/ℚの代表元ってどんなの？"は、本質的には選択公理任せだと
いまの人類の数学では、R/Q の分類さえ 具体的に完遂できないのが 現状
下記 超越数”円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”
ので、例えば e+π を どの同値類に分類するかが決まらないのだから
(参考)
https:
超越数
超越数かどうかが未解決の例
e+π,e−π,eπ,πe,ππ,ee,πe,π^2,eπ^2 などの円周率 π やネイピア数 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。
No.53
No.54
No.55
(引用開始)
>>区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
>はい、極めつけの大間違い。
>λ(V)=1/εとすれば何ら矛盾は無い。実際(1/ε)×ε=1。
それは、面白い発想だ by ポアンカレ（下記）
証明の論理という意味では ”λ(V)=1/ε”の証明が必要だが・・ｗ
それは、証明できまいｗｗ
(引用終り)
戻る
まず 赤ペン先生：
λ(V)=1/ε→λ(V)=ε（εは任意に小さい量）
だね （＾
さて
>>31
より再録
さて
>>14
の ”区間 [0,a] ただしaは有理数” で
a = 10^(-n) | n≧1 として [0,10^(-n)] にすることができる
即ち 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξnξn+1・・・から
有限小数 0.ξ1ξ2ξ3・・・ξn を引き算すると
0.000・・・0ξn+1・・・ とできる
（有限小数は有理数であるから 代表の取り直しになる）
これらの操作を R/Qに対する選択公理による代表に対して 非可算無限回 行うことで
すべて 少数n位以下 区間 [0,10^(-n)]内にできる
言い換えると、[0,ε]内にできる
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V)
>>18
に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
”λ(V)＝0”が矛盾を生じることは、もう一工夫いる*)（
>>18
にある）
（ *)下記 カントール集合の例があるので
(引用終り)
ここで
１）”λ(V)＝0”の一例として 上記 実数の無限小数モデルにおいて
a = 10^(-n)で、n→∞ の場合には 無限小数は 0.000・・000・・・と
全て0になるので、R/Qの代表を満たさなくなる
２）もし、ルベーグ測度の取る値を 下記 超実数に拡張できたとすれば
λ(V)=εで、εを0で無い無限小量と解釈できる
即ち、拡張されたルベーグ測度論では、ヴィタリ集合 Vは 非可測ではなく
超実数の無限小量だ
だれ？ 「ルベーグ測度論を 超準解析での拡張やってみろ？」という人
おれには、できないｗ だが、だれか賢い人ならできるに 100ペソ！ ；ｐ）
(参考)
https:
超実数
超実数（hyperreal number）または超準実数（nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである
超実数の応用、特に解析学における諸問題への移行原理の適用は超準解析と呼ばれる
https:
準超実数
準超実数（英: superreal number、super-real number）
・(Dales & Woodin) 超準解析における超実数を一般化するもので、その全体 (英: super-real field) は超現実数体の部分体を成す。→ 準超実体を参照
・(Tall) superreal number[1]: 固定された無限小 ε に関する実係数形式冪級数の商（形式ローラン級数）。その全体の成す集合 ℜ ≔ ℝ((ε)) は辞書式順序に関する順序体を成す。レヴィ゠チヴィタ体の部分体と見られる
No.56
＞もし、ルベーグ測度の取る値を 超実数に拡張できたとすれば
＞λ(V)=εで、εを0で無い無限小量と解釈できる
＞即ち、拡張されたルベーグ測度論では、
＞ヴィタリ集合 Vは 非可測ではなく超実数の無限小量だ
では超実数論ではQの元の個数は何個ですか？
どの無限大超自然数か、具体的に書いてくれる？
https:
超整数
超準解析における超整数（ちょうせいすう、英: hyperinteger; 超準整数）は、
その整数部分が自身に等しい超実数（超準実数）を言う。
超整数には、通常の整数である有限超整数のほかに無限大超整数も含まれる。
無限大超整数の例は、整数列 (1, 2, 3, …) が属する（超実数の超冪構成の意味での）同値類をとればよい。
超整数全体の成す集合 *ℤ は超実数全体の成す集合 *ℝ の内的部分集合であり、
対して有限超整数全体の成す集合 ℤ は内的部分集合ではない。
補集合 *ℤ ∖ ℤ の元は（文献にもよるが）
超準 (non-standard), 無限 (unlimited), 無限大 (infinite) 超整数
と呼ばれる。
無限大超整数の逆数は必ず無限小になる。
非負の超整数はしばしば超自然数 (hypernatural number) と呼ばれ、
先と同じように有限超自然数および無限大超自然数全体の成す集合はそれぞれ ℕ および *ℕ と書かれる。
後者がスコーレムの意味での算術の超準モデルを与えるものであることを注意しておく。
No.57
「ごーまんかましてよかですか?」
「アホな同僚や相手に構うことほど、人生ムダなことはないよね」
by レトリカ・ブログ （学院長 川上貴裕）
百回音読しましょう！ｗ ；ｐ）
(参考)
https:
ピクシブ百科事典
ゴーマニズム宣言
『ゴーマニズム』とは、『傲慢』から作られた小林氏による造語で、各回の文末には「ごーまんかましてよかですか?」というキメ台詞
https:
アホな同僚や相手に構うことほど、人生ムダなことはないよね。
レトリカ・ブログ （学院長 川上貴裕）
2024年11月2日
どうしようもない人（以下、アホ）に限って、「どういうメンタルしているんだ？」、「なんでこんなやつが正規で受かってるんだ！」と思うほど、平然とした顔で、のさばり続けているのですよね。
世の中、理不尽なことばかりです。
略す
上記のように嫌みをこぼす、アホな同僚が、おそらく、皆さんの周りにもいることでしょう。
でも、こんな愚かなアホのせいで、自分の心が疲弊したり、病んだり、最悪の場合、教職を諦めてしまうことになることほど、理不尽なことはありませんよね。
では、こんなアホには、どう対抗すればいいのか。
いえいえ、今日はそんな話ではないのです。
マザーテレサの名言に、
「愛の反対は、憎しみではなく、無関心です。」
という言葉があります。
まさにその通りです。
アホに対して、憎しみをもったり、エネルギーを費やしたり、感情的になったり、帰宅後も脳裏に思い出したりすることほど、人生を無駄にしていることはないのです。
略す
また、田村耕太郎さんの『頭に来てもアホとは戦うな！』という書籍も、おすすめです！ぜひ、読まれてみてください！
No.58
集合の濃度 R,Q,Z,N では、従来の数のみを扱う
とすれば、いいね ；ｐ）
No.59
つづき
>>8
より
任意の実数の無限小数表現を考える。
Qに含まれる有限小数（小数展開が有限で停まる）
の集合をXとするとき、X⊂Qだから
R/Q ⊂ R/X である。
(引用終り)
些末だが
”Qに含まれる有限小数”を X→U とする（有限の"U"ね）
Uは、通常の和と積で閉じていて 環になる。有限小数環U
（RとQは、割り算でも閉じていて 体を成す）
さて
１）実数の無限小数表現で R/Uでは
・r∈R の無限小数のしっぽが、ある有限少数桁n位以降が すべて0(例 0.123000・・)のとき r∈U
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持つとき(例 0.123777・・) r∈Q
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持たないとき(例 r＝π(円周率)) r∈R
２）実数の無限小数表現で R/Qでは
・r∈R の無限小数のしっぽが、ある有限少数桁n位以降が すべて0(例 0.123000・・)のとき r∈U
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持つとき(例 0.123777・・) r∈Q
・r∈R の無限小数のしっぽが、循環節を持たないとき(例 r＝π(円周率)) r∈R
(但し 二つの無理数の差 r-r'が有理数なら R/Q同値である)
要するに、言いたいことは
無限小数表現では、無限長しっぽの先のパターンで
実数の 同値類の分類が可能だということ
(参考)
https:
循環小数
繰り返される数字の列を循環節という
No.60
>λ(V)=ε（εは任意に小さい量）だね （＾
じゃ矛盾は嘘じゃん。
じゃ非可測の理由になってないじゃん。
口を開けば間違いだらけじゃん。
No.61
うんにゃｗ ；ｐ）
>>55
の主張は
もし
ルベーグ測度 → 超準ルベーグ測度に拡張（超準の無限小量を含む）
に拡張できれば
ヴィタリ集合 V の拡張ルベーグ測度 λ(V)は
超準の無限小量とできるだろう
ということ
即ち
・ルベーグ測度内には、超準の無限小量は存在しないから 非可測
・超準ルベーグ測度内には、超準の無限小量は存在するから （超準）可測■
なお、超準ルベーグ測度への拡張には
下記の”超準解析”を参考にして
ルベーグ測度論を、移行原理などを使って 超準的拡張する必要があるのだが
それは、私より賢い人（プロ数学者）が、やればいいことです！ｗ ；ｐ）
(参考)
https:
超準解析
実数に対して移行原理を満たすような体を超実数体といい、超準実解析学はそういった体を実数の超準モデルとして用いる。
No.62
補足
有理数Qを完備化すると、実数体Rが得られる
同様に、有限小数環Uを完備化すると、実数体Rが得られる
つまりは、有理コーシー列は 有限小数コーシー列で実現できる
それは、下記 東北大 尾畑研
『有限小数と無限小数
ここでは実数を無限小数で表される数ととらえる』
と同値
(参考)
https:
完備距離空間
距離空間 M が完備（complete）またはコーシー空間（Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。
空間の完備化 (completion) として常に可能である
>>31
より
https:
~obata/student/subject/
東北大 尾畑研
「集合・写像・数の体系 数学リテラシーとして」の草稿(pdf)
https:
~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_08.pdf
第8章非可算集合
P119
有限小数と無限小数
ここでは実数を無限小数で表される数ととらえる
区間[0,1]に属する実数を考えよう 任意のx∈[0,1]に対して
ξ1,ξ2,ξ3・・・∈{0,1,・・・9}を用いて10進数による小数表示
ｘ=0.ξ1ξ2ξ3・・・
を考えることができる
略
ここでは実数の厳密な定義はせずこのような無限小数で表されるものを実数と考えておく
厳密な議論は第16.3節で扱う
https:
~obata/student/subject/TaikeiBook/Taikei-Book_16.pdf
第16章整数・有理数・実数
No.63
補足
>要するに、言いたいことは
>無限小数表現では、無限長しっぽの先のパターンで
>実数の 同値類の分類が可能だということ
そもそもは、実数Qの 無限小数表現の無限長しっぽの先のパターンの話だが
有理数Qでも、同様に 無限小数表現の無限長しっぽの先のパターンの話が可能
それが、下記の Sergiu Hart氏の Choice Gamesの ”game2”だ
区間[0,1]の有理数の無限小数表現のしっぽの先のパターンを使って
数当てゲームで 確率 1 − ε を得るというパズルだが
この数当てトリックが機能しないことは、すぐ分る
彼（Sergiu Hart）が、Remarkで種明かしをしているとおりで
{0, 1,..., 9}では、出題者のPlayer 1の勝率 9/10（回答者の勝率は1/10 にすぎない）
(参考)
https:
(参考)
http:
Sergiu Hart
http:
Some nice puzzles:
http:
Choice Games November 4, 2013
P2
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.2 Consider the following two-person game game2:
・ Player 1 chooses a rational number in the interval [0,1] and writes down its infinite decimal expansion3 0.x1x2...xn..., with all xn ∈ {0,1,...,9}.
・ Player 2 asks (in some order) what are the digits xn except one, say xi; then he writes down a digit ξ ∈ {0,1,...,9}.
・ If xi = ξ then Player 2 wins, and if xi= ξ then Player 1 wins.
By choosing i arbitrarily and ξ uniformly in {0,1,...,9},
Player 2 can guarantee a win with probability 1/10. However, we have:
Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 − ε.
Proof. 略
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1,..., 9}, respectively.
No.64
No.65
あ、逃げた
No.66
もし、ヴィタリ集合Vの量がある無限小量εで表せるとした場合
有理数Qの元の個数ωは、εω＝１となる、無限大超自然数で表せる筈だが
なぜならω個のVの重ね合わせで測度1の集合がつくれるのだから
Vの測度がεなら、当然ω＝1/εとなる
だからそれはいくつかと尋ねている
こたえられないなら、そもそもVの測度がεというのが嘘ってことだろ？
No.67
わからんちんどもに とっちめられちん
とんちんかんちん 工学さん♪
No.68
>もし、ヴィタリ集合Vの量がある無限小量εで表せるとした場合
>有理数Qの元の個数ωは、εω＝１となる、無限大超自然数で表せる筈だが
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）
実際
無限小量εを 1/無限大 と書き換えると
下記の 拡大実数 ±∞⁄±∞ の
所謂不定形の式と解するのが 一般だろうが
但し、不確定形式 en.wikipedia にあるように
『極限を求める文脈の外で表現された場合、その式を「不定形」と呼ぶのは適切ではありません』
と書かれていますよ
下記”0の0乗”が、その好例です
なので、無限小量εを導入した 拡張ルベーグ測度論をどう構築するかだけ 私にはできませんがｗ ；ｐ）
なお 下記全文を 百回音読してねｗ ；ｐ）
(参考)
https:
拡大実数
拡大実数（英: extended real number）あるいはより精確にアフィン拡大実数（affinely extended real number）は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 −∞ の2つを加えた体系を言う
算術演算
所謂不定形の式（英語版） ∞ − ∞, 0 × (±∞), ±∞⁄±∞ などはやはり意味を成さない（英語版）とするのが普通である。これらの規約は函数の無限大に関する極限についての法則をモデル化するものになっているが、確率論および測度論ではさらに、"0 × (±∞) = 0" を規約に追加することが多い（確定した 0 を掛けた 0 × (有限) の形の式の極限としての意味を持つことが多いため[2]）
つづく
No.69
https:
Indeterminate form
(google訳)
不確定形式
略
このような特定の状況では、極限は不定形をとると言われ、以下の非公式な表現のいずれかで表されます。
0/0、∞/∞、0×∞、∞−∞、0^0、 1^∞、or ∞^0、
しかし、極限を求める文脈の外で表現された場合、その式を「不定形」と呼ぶのは適切ではありません。例えば、次の式が挙げられます。
0^0この式が未定義のままであるか、または1と等しいと定義されているかは応用分野によって異なり、著者によっても異なる場合があります。詳細については、「ゼロのゼロ乗」の記事をご覧ください
https:
0の0乗
0 の 0 乗（れいのれいじょう）は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論などの文脈では通常 1 と定義される[注 1]一方で、解析学の文脈では二変数関数 xy が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合もある。
1と定義される場合
非負整数の指数のみを扱っている場合には、0の0乗は 1 と定義されることが多い。その理由としては、以下のようなものが挙げられる。
略
計算機科学者のドナルド・クヌースは、00 は 1 でなければならないと強く主張している[1]。彼によると「0x という関数は数学的意義に乏しいのに対し、x0 は様々な公式に頻繁に現れるため、こちらを基準に取る方が形式的に便利な局面が多い」という[2]。
定義されない場合
複素解析における扱い
複素領域において、0 でない z に対し、関数 zw を、log z の分枝を選び、zw を ew log z と定義できる。これは 0w を定義していない、なぜならば z = 0 において定義された log z の分枝は存在せず、したがって当然 0 の近傍で定義された log z の分枝も存在しないからである[9]。したがってこの意味で 0w は定義されないのであるが、著者によっては別途、
Re w > 0 に対しては 0 と定義したり[10]
w ≠ 0 に対しては 0 と定義したり[11]
している。
(引用終り)
以上
No.70
>”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”
自嘲？
>無限小量εを導入した 拡張ルベーグ測度論を
>どう構築するかだけ 私にはできませんが
だったら
>超準ルベーグ測度に拡張（超準の無限小量を含む）できれば
>ヴィタリ集合 V の拡張ルベーグ測度 λ(V)は超準の無限小量とできるだろう
なんて妄想書かなきゃいいのに？
君、🚽の💩？
No.71
グダグダ言い訳しても無駄
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V)
>>18
に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
が正しくなることはないから
No.72
ふっふ、ほっほ
再録
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）
>>68
>>無限小量εを導入した 拡張ルベーグ測度論
昔っから、数学の歴史は 概念の拡張につぐ拡張だった
例えば 19世紀 カントールが無限集合を考える数十年前に
天才リーマンは、複素平面に無限大を導入して リーマン球面を考えて 複素関数論を刷新した
リーマンのリーマン球面上で 複素関数論を考えると、”零点と極”は対応がつく
つまり、有理型関数fとその逆数の関数1/f で、fの極→1/ｆの零点、fの零点→1/ｆの極 の対応がつき
普通は、ご法度の 「ゼロ除算を許容する」 つまり”1/0＝∞”なｗｗｗ（下記）
”無限小量ε”を考えることくらい 21世紀数学では日常茶飯事よ
下記を百回音読してね
複素関数論を勉強しなおせ オチコボレ
(参考)
https:
Zeros and poles
零点と極
極とは複素変数の複素数値関数のある種の特異点である。
技術的には、点z 0が関数fの極であるとは、それが関数1/ fの零点であり、かつ1/ f がz 0のある近傍において正則（すなわち複素微分可能）であることを意味する。
関数fが開集合Uにおいて有理型であるとは、 Uのあらゆる点zに対して、少なくともfと1/ fの 1 つが正則となるzの近傍が存在する場合を言います。
f がUにおいて有理型関数であるならば、 fの零点は1/ fの極であり、fの極は1/ fの零点である。これは零点と極の双対性をもたらし、これは有理型関数の研究において基本的なものである。
無限遠
n次多項式には無限遠にn次極があります。
無限遠点によって拡張された複素平面はリーマン球面と呼ばれます。
例
https:
9 次多項式には ∞ に 9 次極があり、ここではリーマン球面の領域色分けによってプロットされています。
https:
Riemann sphere
リーマン球面
リーマン球面はベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられ、 [ 1 ] 、拡張複素平面（閉複素平面とも呼ばれる）のモデルであり、複素平面に無限遠点を加えたものである。
拡張複素数は、状況によってはゼロ除算を許容するため、複素解析において有用であり、次のような式が成り立つ。
1/0＝∞ 行儀の良い関数。例えば、複素平面上の任意の有理関数は、リーマン球面上の正則関数に拡張することができ、その有理関数の極は無限遠に写像される。より一般的には、任意の有理型関数は、その余域がリーマン球面である 正則関数と考えることができる。
No.73
グダグダ言い訳しても無駄
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V)
>>18
に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
が正しくなることはないから
No.74
つづき
ふっふ、ほっほ
再録
一句”不勉強 オチコボレのさばる 便所板”（字余り）
>>68
”無限小量ε”を考えることくらい 21世紀数学では日常茶飯事よ
例えば、下記磯野優介『ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています』
1980年代の数学科で学んだが、”超準解析入門−超実数と無限大の数学”に到達できなかった人は
”ε-δ 論法が、大学数学の精華であり 数学の頂だ”と 錯覚し妄想する
だが、その考えは 古い
下記を百回音読してね（無限小数展開も出てくるよ）
(参考) これ分かり易い （＾＾
https:
~kenkyubu/kokai-koza/H29-isono.pdf
超準解析入門−超実数と無限大の数学 磯野優介
数学入門公開講座テキスト 京都大学数理解析研究所，平成29年
概要
「無限に大きい数」は存在しません．どんな数を持ってきても，それに1を足せば，より大きな数が出来るからです．同様に「無限に小さい数」も存在しません．このような無限数は，数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず，古くから研究に用いられてきました（いわゆる「無限小解析」）．その後19世紀に入り，厳密さを備えたε-δ論法が登場し，無限小解析は歴史から姿を消します．超準解析とは，「無限に大きい，小さい数」を，数学として厳密に定式化し，取り扱う学問です．この枠組みでは，無限数を用いた計算や証明が可能で，現代数学を用いた無限小解析の再現とも言えます．この講義では，そのような無限数を含む「超実数」を構成し，それを用いて解析学の基礎的な定理を実際に証明してみようと思います．
1 イントロダクション
ε-δ 論法と超準解析
ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています．
無限小解析は，長い間主流の考え方でしたが，数学としてそれを厳密に正当化する事は出来ませんでした．
19 世紀前半に，コーシーやワイエルシュトラスの手によって，ε-δ論法と呼ばれる方法が開発されます．これは収束に関する簡潔な手続きを与えるもので，要するに「∞を手続きに読み替える」論法です．これは極めて厳密に，そして扱いやすい形で極限を取り扱う方法を提供してくれました．この論法の開発以後，解析学はこれを基礎に展開していきます．現代においてもその重要性は変わらず，例えば数学科の大学一年生は必ずこれを学びます（大学生からの評判はすこぶる悪いようですが．．．）この論法が広まるに伴い，上で見たような∞を数とみなす考え方は，（少なくとも厳密な数学としては）用いられる事はなくなります．
1960年代，アブラハム・ロビンソンは超準解析と呼ばれる新しい解析学を確立します．これは実数を拡張した超実数と呼ばれるものを用いる研究方法で，超実数の立場から実数の研究を行おうというものです．この超実数は，ライプニッツの無限小解析を念頭に置いており，例えば無限大超実数（どんな実数よりも大きな数）や無限小超実数（どんな実数よりも小さい数）を含んでいます
つづく
No.75
超準解析とモデル理論
モデル理論とは，数学で扱う構造そのものを研究する理論です．ロビンソンは超実数を構成した後，モデル理論の枠組みで超実数を捉え直し，超準解析を進めていきました．特に，実数で成立する性質が全て超実数でも成立する，という事実がモデル理論を用いて厳密に証明出来ます．しかしモデル理論は初学者には分かりづらい理論ですし，我々の講義時間も限られていますので，この講義ではモデル理論には一切触れません．
P5
2.2 コーシー列を用いた実数Rの構成
この方法は，後で超実数を作る際の参考になるため，やや詳しく解説します．
実数の小数点展開について考察しましょう．
コーシー列は収束先の元aに一切言及していない事に注意しましょう．
この考察により，有理数からなるコーシー列が一つの数を表すという考え方が有効であるように思えます．しかし，異なる数列が同じ数を表す事があるため，その分を同一視するという操作がさらに必要となります．
P7
実数の構成
以上によって，有理数Qから実数Rを作る事が出来ました．今回の構成では，実数を有理数の数列として理解していますが，頭の中で考える際には必ずしも数列だと思う必要はありません．大事なのは，我々が実数だと考えている対象と同じものが，数学的対象として（つまり集合として）実現出来ているという点です．また実際に研究を行う際は，実数を特徴づける性質を抜き出しておいて，それのみを用いて証明を行う事が多いです．
演習 2.11. （難しい）上の実数の構成では，「小数点展開で得られる数」を全て含むように構成した．逆に上のように作られた実数α=(an)nが，小数点展開の形で書けるかどうかを考察せよ．（つまり，(an)n =(bn)nなる(bn)nを上手く探してきて，各bnを√2を小数点展開した時のように取れるのかという事．）
P8
3 超実数∗Rの構成
P10
3.2 フィルターと超フィルター
P15
4 超実数を用いた解析学の展開
P21
5 超積とフォンノイマン環
突然ですが，この章ではやや先進的な話題について学びます．私の専門分野であるフォンノイマン環論と，そこで使われている超積の技術について眺めてみます．超積がなぜフォンノイマン環論で重要か，という点に焦点を当てたお話になります．専門的な内容がたくさん出てくるので，細かい事は気にせず雰囲気を味わおうという視点で読んでください．私もそのつもりで書きます．
つづく
No.76
5.1 関数解析とフォンノイマン環
無限次元ベクトル空間
P24
コンヌの分類定理
その重要性を完全に決定づけたのは，1970年代のアラン・コンヌによる一連の研究でしょう．
以下，コンヌの超積を用いた研究を，非常に大雑把に説明してみます．
専門用語の羅列になってしまうので，面倒なら下の定理5.1まで飛ばしてください．
P25
定理5.1 (コンヌ，1976年). 超有限フォンノイマン環は，従順性と呼ばれる条件で特徴づけられる．特にここから，量子力学で現れるフォンノイマン環は全て分類出来る．
これにより，量子力学で現れるフォンノイマン環を全て列挙するという偉業が達成されたのです．すでに述べたように，これは当時の有名な未解決問題の解決で，コンヌはこの業績を主として1982年にフィールズ賞を受賞しました．
(引用終り)
以上
No.77
>”無限小量ε”を考えることくらい
>21世紀数学では日常茶飯事よ
>『ライプニッツは，1/∞ を0ではない数（つまり無限小）として捉えており，
>このように∞を一つの数とみなす研究方法は無限小解析と呼ばれています』
>1980年代の数学科で学んだが、
>”超準解析入門−超実数と無限大の数学”
>に到達できなかった人は
>”ε-δ 論法が、大学数学の精華であり 数学の頂だ”
>と 錯覚し妄想する
>だが、その考えは 古い
Qの元の個数を表す無限大量ωは具体的にいくつ？
ヴィタリ集合の測度εは1/ωだろ？
εがあるというならその逆数であるωが示せる筈
それはズバリいくつだい？
1980年代の大学の一般教養数学で
εーNによる有理コーシー列の同値類としての実数の定義と
εーδによる関数の連続性の定義が理解できず落第した君に
超準解析とか超実数とか１００００年早いよ
日本列島の縄文人は数を数えるところから始めたら？
フハハハハハハ！！！
No.78
（引用開始）
これから ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V)
>>18
に
0を超える有限の測度を与えることができないことは 直ちに納得できる
もし λ(V)に 小さいが しかし 有限値を与えるならば
[0,ε]のεを微小にとることで、区間[0,1]内に 長さεの区間を いくらでも多く作れて
区間[0,1]のルベーグ測度1を超えさせることで 矛盾が導ける
（引用終了）
ふっふ、ほっほ
>>52
にも書いたが
少し メンタルピクチャーの補足をしよう
>>20
の加藤文元 メンタルピクチャー も再度見てね
１）R/Qで ヴィタリ集合 V で区間[0,1]に集める前は、数直線（-∞,+∞）全体に広がっているとして
まず 全てを プラス側 [0,+∞）に集める
そして、R/Qの代表の元の無限小数展開を考えると
無限小数展開の整数部分を 全て0にすることで 区間[0,1]に集めることができる（整数成分による平行移動）
２）これは、あたかも 部屋全体にケムリが分散しているときに
そのケムリの量（例えば体積）を量るために ある小さな空間に集めたことに相当する
３）この考えは、ケムリの量は 集める前と後で 不変という仮定をおいているってことだ
つまり ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) は、分散しているときと 小さな空間に集めたときとで不変と仮定している
４）さて、区間[0,1]を 無限小数展開を使って、任意の 少数n位以下に縮小できる（少数n-1位以上の成分は有理数だから その分の平行移動を使える）
そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^n が言える
５）では、区間[0,0]に入れることができるか？
上記のR/Qの代表の元の無限小数展開モデルでは、区間[0,0]は 無限小数展開が 全て 0.000・・・となって
数0に潰れるので それはできない
よって、R/Qで ヴィタリ集合 V は 0でない 任意微小区間 区間[0,ε]に入れることができるが
εは0にはできない
もし、ルベーグ測度の超準版ができれば ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝ε だな■
なお、ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定とは無関係に
非可測を証明するのが 元証明です
だが、元証明は ヴィタリ集合 Vの メンタルピクチャーとしては いまいちスッキリしないだろう
上記の ”ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定”をおいた考察とを 併用すると いいだろうと思うよ
No.79
タイポ訂正
そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^n が言える
↓
そうすると、区間[0,10^-n]に入れることができる
つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
よって ルベーグ測度 λ(V) ＜ 10^-n が言える
分ると思うが （＾＾；
No.80
そのまえに、(R/Z)/(Q/Z)で考えなよ、そうすればイヤでも区間[0,1]内に押し込めるから
>もし、ルベーグ測度の超準版ができれば ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝ε だな
もし、ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) ＝εなら、Q/Zの元の数は1/εだな
で、それはいくつだい？
なぜ、聞かれてることに答えないんだい？
ああ、考え無しに口から出まかせでホラ吹いたからか
オチコボレはだいたいそう 考えもなしにホラを吹く
だから間違う だから落ちこぼれる
馬鹿は考えることができない ただ感じるだけ
ブルース・リーの映画の見過ぎ（笑）
No.81
No.82
No.83
が、本人にその自覚はなく、自信満々。
おっちゃんとかいうお仲間によく似てはりますなぁ。
No.84
君、高校生？
そもそも、測度論に数学センスという考え方は合わない
センスという言葉が通用するのは高校まで
後で解析したら、恐らく無理数であろう実数が
実はオイラーの定数γではないことが判明した
No.85
>１）R/Qで ヴィタリ集合 V で区間[0,1]に集める前は、数直線（-∞,+∞）全体に広がっているとして
> まず 全てを プラス側 [0,+∞）に集める
> そして、R/Qの代表の元の無限小数展開を考えると
> 無限小数展開の整数部分を 全て0にすることで 区間[0,1]に集めることができる（整数成分による平行移動）
>２）これは、あたかも 部屋全体にケムリが分散しているときに
> そのケムリの量（例えば体積）を量るために ある小さな空間に集めたことに相当する
>３）この考えは、ケムリの量は 集める前と後で 不変という仮定をおいているってことだ
> つまり ヴィタリ集合 V のルベーグ測度 λ(V) は、分散しているときと 小さな空間に集めたときとで不変と仮定している
>４）さて、区間[0,1]を 無限小数展開を使って、任意の 少数n位以下に縮小できる（少数n-1位以上の成分は有理数だから その分の平行移動を使える）
> そうすると、区間[0,10^n]に入れることができる
> つまり、ヴィタリ集合 V は 任意に小さい区間に集めることができる
最初から選択公理を {x∩[0,ε]∈2^R|x∈R/Q}に適用すれば集める必要が無い。
>少し メンタルピクチャーの補足をしよう
>>20
の加藤文元 メンタルピクチャー も再度見てね
君のゴミピクチャーをばら撒かれても迷惑。ゴミは自分で処分したまえ。
No.86
単に、思考力がない奴に、
「もし、測度があるとすれば、いくらでも小さくなる」
と分からせる意味があるかもしれないが
それだけなら０でいいじゃんとなる
でも、０だとすると、可算和で１にできない
そこが非可測性の最大のポイント
ここ分かんない奴は、測度論分からないから諦めろ
まあ、そもそも実数の定義分かんないオチコボレには無理だけどなｗ
No.87
>単に、思考力がない奴に、
>「もし、測度があるとすれば、いくらでも小さくなる」
>と分からせる意味があるかもしれないが
ならば最低限
> ”ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定”
は証明しないとただの絵空事
> ”ヴィタリ集合 V が 集める前と後で 不変という仮定”
の書き方が馬鹿丸出しで、正しく書くなら
”ヴィタリ集合 V が可測と仮定したとき、集める前と後で測度不変という仮定”
だろうけど
No.88
>セタ「測度の値域に超準実数を許せばヴィタリ集合は可測になる！」←ホントけ？
ふっふ、ほっほ
商R/Qの代表元からなるヴィタリ集合V
これは 数直線（-∞、+∞）に分散している
いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できると仮定する
A)実数の無限小数展開を考えると
Vを 微小区間[0,10^-n] ｜ｎ>1 の任意整数
内に取れることは すでに示した
だから λ(V)＜10^-n だ
B)一方、区間[0,0]に入れることが出来ないことも
既に示した
二つの条件A)B)両方を同時に満たすのは
超準実数の無限小ε 以外にはありえない
あとは、無限小εを含むように
拡張ルベーグ測度論が構築できるか否かだけｗ ；ｐ）
No.89
バナッハ・タルスキーのパラドックスで構成されるR^3の部分集合
→（ユークリッド運動群で不変な）ある測度で可測とすると
（可算加法性より弱い）有限加法性と矛盾する。
セタの直観「ヴィタリ集合の測度として無限小超実数εを割り当てればいいべ」
→考えなしのバカ。
選択公理から有限加法性に反する例も作られるのだから、問題の本質が
無限小にあるわけでもない。
No.90
これまでセタオリジナルは、例外なくおっちゃんレベルのトンデモ。
No.91
数学(的)センスという存在性が不明な概念を用いて話すのは
現実離れしていて何も根拠がない
No.92
Vの任意の有理数分の平行移動で[0,1]をカバーできる
したがって、有理数の個数をω個とするとεω＝1
で？有理数の個数ωはどういう無限大超自然数？
No.93
No.94
展開に数字1が出てこない実数を集めた集合をSとするとき、
Sのルベーグ測度はどれだけか。（配点5点）
No.95
No.96
カントールの3進集合だけではない
No.97
No.98
No.99
(引用開始)
二つの条件A)B)両方を同時に満たすのは
超準実数の無限小ε 以外にはありえない
あとは、無限小εを含むように
拡張ルベーグ測度論が構築できるか否かだけｗ ；ｐ）
(引用終り)
下記の ”Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997”
のP1 に
”It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.”
とある
これが どこかの投稿論文か否かは 確認できなかった（ G. H. Meisters氏の詳細も不明）
だが
References（引用文献 ）で 取り上げている 2020年の論文があったので アップしておくよ
なので 知る人ぞ知るだな
まあ、誰でも思いつくことではあるｗ （＾＾
(参考)
https:
~dobelman/courses/Lebesgue_Measure.Meisters.pdf
Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997
P1
It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.
(google訳)
これらの性質をすべて満たす関数 µ : 2^R → [0,∞] を定義することは不可能であることが判明した。しかし、測度が「無限小」値をとることを許容すれば、つまり、R の非標準モデルである [0,∞]∗ ⊂ R∗ となる µ : 2^R → [0,∞]∗ を取れば、定義は可能となる。
https:
Journal of Southwest Jiaotong University
Home > Vol 55, No 1 (2020) > Fadhil Abbas
New Definitions of Sigma Field
Hind Fadhil Abbas
Full Text:PDF
https:
References
MEISTERS, G.H. (1997) Lebesgue Measure on the Real Line.
No.100
自己レス
＞これが どこかの投稿論文か否かは 確認できなかった（ G. H. Meisters氏の詳細も不明）
どうも 講義テキストらしい（下記）
なお Measure.Theory.Tao.pdf もある
なので G. H. Meisters氏も 多分どこかの大学教授だな
(参考)
https:
~dobelman/courses/papers.monographs.html
Statistics and [some] Econometrics Qualifier Review
_Readme.00.txt
_Qualifier.Topics.EconShortList.txt
・Lebesgue_Measure.Meisters.pdf ← こいつ
https:
~dobelman/courses/texts/qualify/Lebesgue_Measure.Meisters.pdf
・Measure.Theory.Tao.pdf
https:
~dobelman/courses/texts/qualify/Measure.Theory.Tao.pdf
An introduction to measure theory
Terence Tao Department of Mathematics, UCLA, Los Angeles, CA 90095 E-mail address:
[[email protected]](/cdn-cgi/l/email-protection)
Preface
This text is intended to form a prequel to my graduate text [Ta2010] (henceforth referred to as An epsilon of room, Vol. I), which is an introduction to the analysis of Hilbert and Banach spaces (such as Lp and Sobolev spaces), point-set topology, and related topics such as Fourier analysis and the theory of distributions; together, they serve as a text for a complete rst-year graduate course in real analysis.
