No.101
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
の証明まだ？
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
の証明まだ？
ℝ/ℚの代表元ってどんなの？
レス数: 118
概要: >>99 >いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる の証明まだ？
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
の証明まだ？
No.102
>>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
>の証明まだ？
質問の相手を間違えているぞｗ （＾＾
１）おれは 証明など 必要に迫られない限りしないのが主義ｗｗ ；ｐ）
２）君が
>>99
の”Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997”
P1 ”It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.”
について 何か疑問があれば 友人か
大学の知り合いの数学教授に 質問しなさい！ ；ｐ）
No.103
なにをトチ狂ってるの？
君がいま盛んに語ってるヴィタリ集合の超準実数測度での可測性は、君が勝手に置いた仮定
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
が正しくない限りまったく無意味なんだけど
だから君が真っ先にやるべきは、君の持論を補強する文献探しなんかじゃなく、君が勝手に置いた仮定の証明の方なんだけど
まさかそこから分かってなかったの？ 馬鹿だね君
No.104
>質問の相手を間違えているぞｗ （＾＾
>いま、Vの測度λ(V)について その分散状態に無関係にある決まった測度を付与できる
は君が置いた仮定なんだけど憶えてないの？ 記憶障害？
No.105
補足
>>99
より 再録
https:
~dobelman/courses/Lebesgue_Measure.Meisters.pdf
Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997
P1
It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.
(google訳)
これらの性質をすべて満たす関数 µ : 2^R → [0,∞] を定義することは不可能であることが判明した。しかし、測度が「無限小」値をとることを許容すれば、つまり、R の非標準モデルである [0,∞]∗ ⊂ R∗ となる µ : 2^R → [0,∞]∗ を取れば、定義は可能となる。
(引用終り)
さて
１）上記で 2^Rが 実数の冪集合(下記)を意味し
Rの任意の部分集合に 対して
µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R, assume “infinitesimal” values
で、Rの任意の部分集合 に 拡張された測度 µ それは R∗ a nonstandard model of R “infinitesimal”無限小を仮定して
可能だと G. H. Meisters 1997 は 書いた
２）一方 下記 Vitali set（ヴィタリ集合）もまた、Rの部分集合 で 2^R に含まれることは 中高一貫校生も分るだろう
そして 下記 1964年 ソロヴェイ は、フルパワー選択公理無しでは 実数のすべての(部分)集合がルベーグ可測となる とした（但し 到達不可能基数の存在下で）
３）よって、実数の任意部分集合S ⊂R 全てに測度を付与するには 二択で
G. H. Meisters 1997のように “infinitesimal”無限小を仮定して 拡張された測度 µ nonstandard model
か、(到達不可能基数の存在下)フルパワー選択公理無しソロヴェイモデル*) とするのか■
注*) ソロヴェイモデルでは、R/Qの代表を取る Vitali set 類似を 構成できないってこと
G. H. Meisters 1997の証明がない？
それは プロ数学者に聞きなさいｗ ；ｐ）
(参考)
https:
冪集合
与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のこと
記法
集合 S の冪集合は ・・・
2^S のように記される。2^S という表記は、一般に X^Y が Y から X への写像全体の集合を表すことによる（後述）
つづく
No.106
https:
Vitali set
(google訳)
ヴィタリ集合
選択公理の役割
上に示したヴィタリ集合の構成には選択公理が用いられている。ここで疑問が生じる。ルベーグ測定可能でない集合の存在を証明するために選択公理は必要なのだろうか？答えは「はい」である。ただし、到達不可能基数は集合論における最も一般的な公理化、いわゆるZFCと整合している必要がある。
1964年、ロバート・ソロヴェイは、選択公理を用いずに、実数のすべての集合がルベーグ可測となるツェルメロ＝フランケル集合論のモデルを構築した。これはソロヴェイモデルとして知られている。[ 3 ]ソロヴェイは証明において、到達不可能基数の存在はツェルメロ＝フランケル集合論の他の公理と整合的であり、すなわち矛盾を生じないと仮定した。この仮定は集合論者の間では広く正しいと信じているが、ZFCだけでは証明できない。[ 4 ]
1980年、サハロン・シェラは、ソロヴェイの結果は到達不可能基数に関する彼の仮定なしには証明できないことを証明した。[ 4 ]
参考文献
4 ワゴン、スタン。トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナッハ・タルスキーのパラドックス(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。296〜ページ
＜ここで、英原文 は 下記＞
Role of the axiom of choice
The construction of Vitali sets given above uses the axiom of choice. The question arises: is the axiom of choice needed to prove the existence of sets that are not Lebesgue measurable? The answer is yes, provided that inaccessible cardinals are consistent with the most common axiomatization of set theory, so-called ZFC.
In 1964, Robert Solovay constructed a model of Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice where all sets of real numbers are Lebesgue measurable. This is known as the Solovay model.[3]
In his proof, Solovay assumed that the existence of inaccessible cardinals is consistent with the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, i.e. that it creates no contradictions. This assumption is widely believed to be true by set theorists, but it cannot be proven in ZFC alone.[4]
In 1980, Saharon Shelah proved that it is not possible to establish Solovay's result without his assumption on inaccessible cardinals.[4]
(引用終り)
以上
No.107
>それは プロ数学者に聞きなさいｗ ；ｐ）
丸投げかい？
じゃあ君が長々と論じて来たなんとかピクチャーは全部ゴミだったんだね
No.108
強制法のポンチ絵もあるよ
加藤文元氏 メンタルピクチャー
＜“big picture”＞Terence Tao だね
これによれば、フルパワー選択公理なし（到達不能基数あり）で
Vitali setのような非可測集合は ”潰せる”らしい （＾＾
(参考)
https:
~kota/wakate2015.html
数学基礎論若手の会2015
講演資料（一部）
石井大海(筑波大学) Lebesgue 可測性に関する Solovay の定理と実数の集合の正則性.
https:
~kota/ishii.pdf
Lebesgue 可測性に関するSoloayの定理と実数の集合の正則性
1石井大海筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士前期課程二年
Friday 27th November数学基礎論若手の会2015
P4
背景：測度の問題
Lebesgue 測度 実数の集合を図形と見做した時に長さに当る量．
測度の問題 任意の実数の集合に対し，測度が定義出来る（可測）か？
Theorem 1 (Vitali)
RQの完全代表系はLebesgue非可測．
⇝ 本講演では選択公理の使用について詳しく見ていく．
(追加参考)
加藤文元氏 メンタルピクチャー、形式化図式と数学の「理解」
IUTに欠落しているのは、メンタルピクチャー＆形式化図式か
(参考)
https:
note.com
なぜ微分積分学は不完全なのか？
加藤文元 2025年2月23日
メンタルピクチャー
私は数学や数学の理解に関するいくつかの概念とその用語を導入したいと思う。そのうちのひとつは「メンタルピクチャー（MP）」というものだ。
＜“big picture”＞
https:
There’s more to mathematics than rigour and proofs Terence Tao
https:
Career advice Terence Tao
No.109
誤 おれは証明など必要に迫られない限りしないのが主義
正 おれは証明など求められても全くできないのが現実
述語論理知らんサルだからな
”Lebesgue Measure on the real line by G. H. Meisters • February 14, 1997”
P1 ”It turns out that it is not possible to define a function µ : 2^R → [0,∞] that satisfies all of these properties. It is possible if we allow our measure to assume “infinitesimal” values; that is, if we take µ : 2^R → [0,∞]∗, where [0,∞]∗ ⊂ R∗, a nonstandard model of R.”
でも、なぜそうなるか理解できないんだろ？
駄目じゃん 高卒 ◆yH25M02vWFhP
No.110
全然わかってねぇじゃん（笑）
＞強制法のポンチ絵もあるよ
強制法のポンチ絵ではないな
何が描かれてるかも分からん素人は
集合論に一切興味持つなよ 無駄だから
碁でも打ってろ サル
No.111
全然わかってねぇじゃん（笑）
＞強制法のポンチ絵もあるよ
強制法のポンチ絵ではないな
何が描かれてるかも分からん素人は
集合論に一切興味持つなよ 無駄だから
碁でも打ってろ サル
No.112
初歩から間違って笑われるだけだからやめとけ
なんで述語論理を勉強しないんだ？ サル！
No.113
1階述語論理で 厳密に書くと
”バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドがこのアプローチを適用した際、彼らは1+1=2と略される命題を確立するまでに、700ページ以上に及ぶ形式記号を費やしたことで有名である。ブルバキの形式主義は、この数字さえも矮小化し、数1を定義するだけで約4兆5000億もの記号を必要とした”
という
まあ、面白いけど
逆に言えば、1階述語論理の限界を表しているとも
ゲーデルの加速定理の出番でしょうね（下記）
人は、1階述語論理だけでは 思考しない！ｗ ；ｐ）
<ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18>
https:
(参考)
https:
Nicolas Bourbaki
(google訳)
Éléments de mathématique
（右の囲み記事より）
ブルバキは、先人たちと同様に、数学を「形式化された言語」で表現し、厳格な形式規則に基づく明快な演繹を主張した。20世紀初頭、バートランド・ラッセルとアルフレッド・ノース・ホワイトヘッドがこのアプローチを適用した際、彼らは1+1=2と略される命題を確立するまでに、700ページ以上に及ぶ形式記号を費やしたことで有名である。ブルバキの形式主義は、この数字さえも矮小化し、数1を定義するだけで約4兆5000億もの記号を必要とした。[ 119 ]
マイケル・バラニー[ 120 ]
(引用終り)
https:
ゲーデルの加速定理
ゲーデルの加速定理（英: Gödel's speedup theorem）は、クルト・ゲーデル[1]により証明された、数理論理学における定理である。この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。より正確にいえば、それはn階算術の体系で証明可能な命題であって、n+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
No.114
N∋1:=S(0)
N∋2:=S(1)=S(S(0))
ZF上のモデル
0:={}
1:={}∪{{}}={{}}
2:={{}}∪{{{}}}={{},{{}}}
No.115
一階述語論理で思考しようがしまいがどうでもよい。思考内容が一階述語論理に落とせるならそれでよい。
いわんや一階述語論理を勉強しなくてよい言い訳にはならない。
なんでそこまで勉強嫌いなん？
No.116
高校までの数学に思考はない
計算方法を身体で覚えるだけ
この問題にはこの解法、と身体で覚えるだけ
どこにも思考がない
そういう精神で大学入試を乗り切った人間が
大学１年の一般教養の数学で
実数の定義だの線形空間・線形写像の定義だの
なんてのを教わるとたちまちパニックになる
そもそも定理を証明するなんて考えたこともないから
そして過去問をひたすら覚えて試験だけ乗り切り
大学の数学は哲学とか寝言いう一般人になりさがる
もともと考える気もない奴が大学に入ってはいけない（バッサリ）
今の大学は、職業訓練専門学校に成り下がってる
法学部だの経済学部だの工学部だのというのは、もはや大学ではない
No.117
君は、世間をなめているんじゃない？
君は、ｗ大 数学科 内部進学？ だってね
それで 数学科１年生の１日目で 現代数学の冷や水を浴びせられて
目を白黒させて 詰んだんだって？
学部のあとは 修士では 情報系へ逃げた・・というか 学部の４年の研究室から 情報系の研究室へ逃げたんだね
下記の河東氏の母親が、数学が得意で 抽象的な数学も得意で
河東氏が背伸びして 中１で 「解析概論」のε-δとか
「数学セミナー」の「エレガントな解答を求む」など を勉強しているとき
『その頃までは私と話が通じるくらいに数学はできた』という
別に、高橋洋翔君 数検１級に１１歳で最年少合格 2024年 第34回日本数学オリンピック 優秀賞 開成高等学校 高１
まあ、東大には行くのでしょうね。数学科かどうかは不明
宮岡礼子ママが、数理科学だったかに書いていたが
数学者仲間で、ランドセルに「解析概論」が入っていたという逸話の人がいたとか あったな
それとは、比べ物にならないが ・・
私も 中３で 数学教員から 数学同好会に誘われて、３ｘ３行列を習った（３ｘ３行列が分ればｎｘｎは類推できる）
相対性理論は、高校で矢野健太郎先生の本を読んだ。次元を４→５次元にするカルツァ・クライン理論の統一理論が付録にあったのを覚えている
高校２年で 数学教師が ε-δをうるさくいうので どんなものかと 自学自習した
実数のデデキント切断は、中一で数学教師が話していたね。大学１年で 自学自習した
ゲーデルの不完全性定理の解説本も 高校で読んだ（完全性定理もあったと思う）
『大学１年の一般教養の数学で
実数の定義だの線形空間・線形写像の定義だの
なんてのを教わるとたちまちパニックになる』
？？？
自分の体験談を語られてもねぇ・・・ｗｗ ；ｐ）
(参考)
https:
~yasuyuki/surikagaku.htm
河東泰之の「数理科学」古い記事リスト
サイエンス社の月刊「数理科学」に私が書いた古い記事です． 同社の許可を得て公開しています．
7.河東泰之， 私はどうして数学者になったか，「数理科学」 Vol.46-10, pp.78-83, サイエンス社，2008．（『数学の道しるべ』，pp.170-179, サイエンス社，2011に再録）
https:
~yasuyuki/suri0810.pdf
P1
母親も数学が得意だった．大学の専攻は化学で，昔のことで専業主婦だったが，
計算はきわめて早くて正確で，もっと抽象的な数学も得意だった．
私が中学1年生のときに病気で亡くなったが，
その頃までは私と話が通じるくらいに数学はできたと思う．
さてその後，麻布中学に入ることになった．
P2
中学校に入って，微分積分をもう少しやってみると，そもそも自分は三角関数も指数対数関数も知らず，したがって，それらの入った微分積分は当然できないと言うことがわかった．
つづく
No.118
数学は論理の積み重ねだから順番にきちんと一歩ずつ学んでいかなくてはいけない，などとよく言われるが，この頃は順番などまったく無視していた．「大学への数学」で受験問題を解いたり，「数学セミナー」を読んで「エレガントな解答を求む」をやったり，「解析概論」を読んだり，みな平行してやっていた．(「解析概論」が重要な本であるということは「数学セミナー」で知った．すぐに買ってきて読み始めた．)さらに群論でも線形代数でも手当たり次第に読んだ．
「エレガントな解答を求む」で・・・
正解者のところに「中学1年生!」とカッコつきで載ったのがうれしかった．1年間くらいは熱心にやっていたと思う．
「解析概論」も同じ頃熱心に読み，最初の方のε-δ論法を始めとする厳密な解析学は，かなりまじめに勉強してちゃんとわかったと思った．
前にわからなくて気になっていた切断もこのときわかるようになった．
また，現在京都大学にいる中島啓氏と同級生で，しょっちゅう休み時間にトランプをしていたのもこの頃である．
https:
産経「夢は数学のノーベル賞」 数検１級に１１歳で最年少合格・高橋洋翔君 2018/11/24
https:
2024年 第34回日本数学オリンピック（JMO）
受賞者 優秀賞
