No.1
空集合があるなら空写像もあるの？
レス数: 91
概要: なんだよ空写像って
No.2
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|::（ 6 ー─□─□ ） ｑ -´ 二 ヽ | はあ？いいから働けウンコ製造機
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No.3
典型は恒等写像id
id(x) = x
id({}) = {}
A = {1, 2, 3}
id(A) = A = {1, 2, 3}
succで空集合から数を作るとかも。
0: {}
1: succ({}) = {{}}
2: succ(1) = succ(succ({})) = {{},{{}}}
3: succ(2) = succ(succ(1)) = succ(succ(succ({}))) ={{},{{}},{{},{{}}}}
.
.
.
No.4
No.5
No.6
No.7
No.8
No.9
No.10
No.11
No.12
No.13
No.14
No.15
発想はいいけど未達
空集合から集合への写像を考えればそれは空写像
?_A: ?→A
∀A, ∃!?_A
また空集合の性質でどんな元も空集合に含まれることはなく、
これに反する前提を持つ命題は常に真（ex. ∀x??, ∃!y:?A, (x,y)??.)
また空関数は、Aも空集合のとき全単射となる
以上より導かれる興味深い事実は、基数λ、μに対して、
μ=card(X), λ= card(Y), λ^μ:= card (Y^X) としたとき、
0^0はX=Y=?に相当するから、0^0 = card(?^?)であり、この空写像はただ一つ存在するから、
0^0 = 1であるということである
No.16
ああ、思い出した。
2ⁿの2⁰ = 1の理由の時にアセンブラのNOP(何もしないという命令)相当の数学概念が欲しいとか思ったのと同じって事か。
2² = 1 * 2 * 2
2¹ = 1 * 2
2⁰ = 1 (１に０を１回も掛けない。つまり「何もしない」)
n ^ 0 = 1
n ^ m = n * (n ^ (m - 1))
それを行くと、何を受け取っても定数を返す関数とかは空写像って事になるのだらうか…。
なんか違う気がする。
f(x) = 1
No.17
No.18
空射精
空写像
ホモ写像
オイラーの原理
鳩ノ巣原理
No.19
No.20
一般的には変換て言うかな
No.21
その写像は必ず単写である。
またその写像が全射となるのはXが空集合である
ときに限る。Xが空集合であればその写像は全単射
となり、逆写像を持つが、その逆写像もまた空写像である。
No.22
写像 f:X→Y とは、X×Y の部分集合Fであって、条件：∀(a,b)∈F ∧ ∀(a,c)∈F ⇒ b=c を満たすものを言う。
X={}のとき、{}×Y={}だから、F={}。{}はいかなる元も持たないから、条件の左辺は恒偽であり、よって条件は恒真。
従って f:{}→Y={}であり、これを空写像と言う。
No.23
「aがAの元であればBのある元bが存在して
一意に定まる関係」であり、
そのときｆ(a)=b と表す。
ここでAが空集合φであれば、Aの元は
存在しないので、定義における命題の
「aがAの元であれば、」のところが
偽になるため、「aがAの元であれば、Bのある元bが
一意に定まる関係」であることを満たすから、
定義域Aが空集合φである場合には集合Bが
何であっても、AからBへの写像ｆは存在する
ことが定義から保証される。
Aが空集合φである場合の写像を空写像
といい、その値域f(φ）は空集合φである。
空写像は単写であり、B=φの場合に限って
全単写となり、そうしてその場合には
逆写像も存在して空写像である。
No.24
空数学とは、その数学に含まれる
命題の集合（公理も含まれる）が
空集合であるような数学のことをいう。
No.25
ええっと、ここは...数学板か。宇宙（数学）構成つーことになる。
数学はエネルギー論を無視していると思っていたが、実質含意で考えればエネルギー論的にも辻褄が合う。
宇宙（物理）や量子論的にも成り立つかもしれない。ちょいとトランスワープ。
No.26
その数学が空数学ならば、それで書かれて
いる宇宙は空宇宙となり、宇宙には何物も
存在しないことになる。光無し、最初にも
言葉無し。まるっきり言葉を失う他無い。
No.27
そして、その集まり（空集合）の外にはすべてがある。空集合のまわりには豊穣な宇宙がある。
No.28
No.29
empty category 空圏だってあるし。
空数学ってのは空（集合）しか扱わない数学っすかね？
No.30
No.31
命題を含まない潔い態度の数学です。
何も導けないし何も行えない。
しかしそれに命題を付け加えることで、
あらゆる数学を含めることになるから
数学の母体となるものです、なーんちゃって。
No.32
メタ(数学)的な立場から空としているわけですね。
で、集合論や論理すらなくても困らないほどなにもないと。
無数学と空数学の違いですね、問題は。なにもないけど数学だけはある、と。
ブートストラップとしての数学。
No.33
そのように考えてしまうと、「数学でなければならない」ということはclassであり、
そこにあらわれている「数学」なんていうことも無定義用語とすれば、空のclassに属していれば「空数学」。
空のclassだけの数学。
一元体や絶対数学への別アプローチ（集合(class)論的アプローチ）かもしれない。と、わたしは妄想しました()
No.34
なのに空集合は要素を含まない集合である。
そういうトンチが許されるのならば、
空数学がなければものごとの整合性が
とれない。
No.35
集合論も論理学もなにもない状態からスタートするにしてもなにもない。
空圏からの関手でも考えるのだろうか。それしか考えられないと思うが、どうなるんだろ？
No.36
1階の下のL（ロビー）かG（グランド）でないと降りられない。
空集合はロビーだ。
空数学がただ空であるというだけなら、なにも始まらず、そこで終わる。
空であることで真空エネルギーがあってなにものかが対生成するとかいうのであればよいのだが、数学は物理ではない。
空である、ということは、そこになんらかの大きさのようなものがある/なければならない。
空は無ではない。
No.37
そらとかなしとかは別に関係ない
No.38
空（くう）は満ちると１になる。
１に満たないが、なんらかの大きさのようなものを持っている。
No.39
No.40
数学ならsuccessor (function/operator)がその類のものだろう。
No.41
空数学そのものから、自然に発生すべきである。
数学なのだから数学的対象が必要であり、空数学なのだから「空」が数学的対象である。
この「空」は、集合論や一階述語論理なども持っていないのだから、空集合の公理以前のものである。
公理そのものはメタ的にあるとして、「空の公理」（空集合の公理ではない）のみがあると考える。
No.42
空（から）の公理である。公理の枠だけがある。メタ数学の範疇になるだろう。
公理とは仮定であるが、命題とか前提とかもないとすれば、公理という仮定でもなく、
ただ、「素朴」になにもない。空数学は、いままでの数学の構造を脱構築しようという試みなのか？
ブルバキによる構造やら公理学の導入やら形式主義やらなんやらを脱構築しようというのだろうか。
No.43
空数学は、ブルバキやヒルベルトやらゲーデルあたりにまで喧嘩を売る数学であろう。
要請されるのは「空」であることと、「数学とは異なるものを同じものとみなす技術である」（ポアンカレ）という２つだ。
空を単位元とするモノイドと考えれば、自然数論のようなものだが、空数学＝モノイド数学なのか？
モノイドだけで数学を再構成/再構築できる？
No.44
無い形で数学を作れるか？
これこれの性質を満たすものの
集まりというものが存在するだとか、
空で無い集合に含まれる要素を
とりだしてだとかいうようなことを
認めない。自然数はあっても自然数の
集合は無い、など。
No.45
同じclassに属するものの集まりという概念はポアンカレの要請を満たす。
集合論ではなくclass論。同じclassに属するものの集まりと、classの集まりは区別される。
classもものであり、同じclassに属するclassの集まりがある。
空とはすべてのclassの集まり。white class?
わたしが空数学を考えるとこのような感じのclass論になる。個人的な見解なので、これを白数学と呼んで区別しておこう()
No.46
これをホワイトホールとすればブラックホールに相当する黒数学もある。
とすると穴数学がよさそうだ。空は穴だ。
この穴には白/黒の二面性がある。
ホワイトホールにもシュワルツシルト半径のようなものはあるのだろうか。時間反転すればいいだけかもしれないが。
No.47
数学における光速とはなにか、と考えるなら、それは「公理」のことだろう。
とすれば、公理がホールを作る。
それでもまだ重力に相当するものが足りない。
数学の圏と物理の圏は自然変換できるのだろうか。
No.48
物理を考えずにdemon algorithmのdemonを考えよう。悪魔数学。
ならば、最初に白数学として考えたが、黒数学と呼ぶのがふさわしい()
この悪魔は大きさのようなものを持ち、余剰エネルギーを格納して大きくなり、
可能であれば必要なときにエネルギーを放出して小さくなる。（とりあえず負の悪魔は考えない。いるかもしれないが）
注：エネルギーの形態のひとつが情報である。ただし、情報を受け取るモノ/者/物が必要だ。
量子的な数学場での演算子/作用素/operatorを扱う。
No.49
黒数学（悪魔数学/魔物数学）の駆動源は客観（化）というエネルギーである。
このエネルギーによって数学的対象がうみだされる。
この悪魔/魔物はマクスウェルの悪魔やラプラスの悪魔の親戚で、ゲーデルの悪魔もいるだろう。
命名するならチューリングの悪魔/魔物あたりが適当か？
これらの悪魔はブロッホ球やポアンカレ球のような球面であろうと考える。よーするに波だ。
No.50
数学世界でエネルギー論的に展開すべきである。
空という〇の真空エネルギーを使う。
フォンノイマン的に自然数論を展開するのであれば、〇が自分でべき集合をつくっていくべき()
〇が複数の〇からできているとすれば、バブル構造のようなものを持っている。
集合論から外延性の公理を取り去るのが正しそうだ。
No.51
なので、現在のコンピュータは0次元デーモンの黒数学で成り立つ()
このあたりになると0次元の超ひも理論が...ほんとか？
0次元の超ひもの振動が万能チューリングマシンになるってことか。
No.52
アイデアは単純だ。循環タグシステムの変種だが、生物に近い。
FIFOではなくブラックホールに類似したdemonがテープのかわり。
空数学というアイデアをありがとう。とりあえず他の板にトランスワープ。
ブラックホールが生命の起源かもね。Black alert!
No.53
公理とみなす命題と命題論理があり、
命題論理を有限回適用して得られる
範囲の体系ではないだろうか。
No.54
No.55
No.56
部分集合の定義より ∀x(x∈X⇒x∈{})。全称除去により c∈X⇒c∈{}。
c∈{}は恒偽だから c∈X は恒偽でなければならない。よってX={}。よって2^{}={{}}。
No.57
55で言い尽くされたこと
No.58
No.59
No.60
空集合
No.61
(1)∀y(¬y∈{}) 前提
(2)¬c∈{}(1)と∀除去
(3)¬c∈{}∨¬d∈X (2)と選言導入
(4)∃x∃y(¬y∈{}∨¬x∈X) (3)と∃導入
(5)¬(∀x∀y(y∈{}∧x∈X)) (4)とドモルガンの法則と二重否定除去
∴{}×X:={(y,x)|y∈{}∧x∈X}={}
No.62
Xを集合とする。
(1)∀y(¬y∈{}) 前提
(2)¬c∈{}(1)と∀除去
(3)¬c∈{}∨¬d∈X (2)と選言導入
(4)∀x∀y(¬y∈{}∨¬x∈X) (3)と∀導入
(5)¬(∃x∃y(y∈{}∧x∈X)) (4)とドモルガンの法則と二重否定除去
∴{}×X:={(y,x)|y∈{}∧x∈X}={}
No.63
y∈{}が恒偽だからx∈Xの真偽にかかわらずy∈{}∧x∈Xも恒偽。よって{(y,x)|y∈{}∧x∈X}={(y,x)|⊥}={}。
No.64
A×BとB×Aが一致するのはどのような
ときか。（配点３点）。
No.65
No.66
1変数の写像（関数）f(x)
なら…
０変数の写像（関数）f
ってのも有っていいし、それって変数の事じゃん？
という事で
空写像＝変数（0変数の写像）
ってのはどうだろう？
No.67
数学は空間の科学だったのかもしれない。そこには不動点（あるいは不変性）もある。
公理的集合論の問題は内包公理ではなく外延性公理の問題だったのかもしれない。
対象を仮想粒子とみなせば、ボース・アインシュタイン統計に従うものと、フェルミ・ディラック統計に従うものと最低でも２種類の対象が必要なのではないか？
No.68
以下 ¬(A={}∨B={}) とする。
いま A≠B を仮定。
あるa∈Aが存在して¬a∈B・・・(1) または あるb∈Bが存在して¬b∈A・・・(2)
(1)のとき、b∈Bを任意に取ると (a,b)∈A×B∧¬(a,b)∈B×A ∴¬A×B⊂B×A ∴A×B≠B×A。
(2)のときも同じことが言えるので結局 A×B≠B×A。対偶を取り A×B=B×A→A=B。
以上から A×B=B×A⇒A={}∨B={}∨A=B。
No.69
時間の位置づけは重要
No.70
可換でもなく結合的でもない。
しかし、((a,b),c)を(a,b,c)とみなし、
(a,(b,c))も(a,b,c)とみなす同一視を
行うことで結合的にできる。
No.71
可換でもなく結合的でもない。
しかし (a,b) を {a,b}と
同一視することにより可換にできる。
No.72
空集合は{}ただ一つあり、空なものはその要素である
の類推から
空写像fはただ一つあり、空なものはそのタプルの要素である
とするならば
[f] = {({}, {})}
なるただ一つの関数f
No.73
>{({}, {})}
それは写像 f:{{}}→X∪{{}}ただしXは集合
No.74
思いついた。
変数 ＝ ０変数の関数。
空集合 ＝ ∅
なら、
f = ∅
というのはどうだろう？
つまり、空集合は空写像でもある。
No.75
(2)直積の定義より ∀a∀b(a={}∨b={}⇒a×b={})
(3)空集合の定義より ∀c(c⊂{}⇒c={})
(1),(2),(3)より ∀a∀b∀f(a={}∨b={}⇒(f:a→b)={})
No.76
集合に対する反集合要素というものを
考えてみる。
集合Aが要素aを含むとき、
Aの反集合\bar{A}は反要素\bar{a}を
含むというように。そうして要素数は
aが1なら\var{a}は-1と数えるなど。
こうしたからといって何も面白いことは
出て来ないような気がするけれども。
No.77
No.78
直積ABの部分集合で特別なもの
じゃないよな
この解釈だと恒等写像と包含写像が区別できない
No.79
No.80
AとBの濃度は必ず異なることを
示しなさい（配点５点）。
No.81
べき集合の定義よりBからFへの全単射が存在する。
いま |A|=|B| を仮定する。
仮定より全単射 g:A→F が存在する。
f0∈F を f0(a)≠(g(a))(a) で定義したとき ¬f0∈g(A) であるからgが全射であることと矛盾する。
矛盾が導かれたので仮定は否定される、すなわち|A|≠|B|。
No.82
始域終域グラフの三つ組
No.83
No.84
Xとする。定義からXは自分自身も自分の
冪集合もその要素として含んでいるはず
である。よって X∈X、2^X∈X。
そうして冪集合の定義から X∈2^X 。
No.85
いまXは集合と仮定する。
べき集合の公理より2^Xが存在して ∀x(x∈2^X⇔x⊂X⇒x∈X) ∴2^X⊂X
よって濃度の定義より |2^X|≦|X| だが、これはカントールの定理 |2^X|>|X| と矛盾。
ゆえにXは集合でない。
No.86
如何なる言明であることが必要であり、
また十分であるといえるか。
あるいはある言明が与えられた場合に
それが集合を表すことかどうかを
決定することが常に可能だろうか。
No.87
反証可能でないことはxが集合であるための必要条件。
証明可能であることはxが集合であるための十分条件(※3)。
※1 高階の場合、文が証明可能であることと妥当な論理的帰結であることは同値でないのでより多くのパターンがある。
※2 無矛盾性を前提しない場合、証明可能且つ反証可能というパターンもある。
※3 必要十分条件ではない。なぜならその文が集合論から独立ならxが集合でないことは言えないから。
ゲーデルの不完全性定理より集合論が無矛盾なら集合論から独立な文が存在するから、「xは集合である」という文の真偽は常に決定可能ではない。
例えばZFC集合論が無矛盾なら「最小の無限順序数ωに対して |ω|<|x|<|2^ω| を満たす集合xは存在しない」という文（連続体仮説）はZFC集合論から独立。
No.88
A ⊂ B ⇔ A×C ⊂ B×C
は言えるか。（配点３点）。
No.89
あれば、Cとして空集合をとると、
AｘC、BxCが空集合となるため、
A×C ⊂ B×C は成り立たない。
No.90
任意のA,Bで A ⊂ B は成り立たないと言いたいのかな？
No.91
記号であれば、{}⊂{}は成り立たない。
等しい場合も含めている⊆の意味ならば
成り立つ。
集合の記号⊂は著者の流儀により⊆と
同じ意味に使われる場合とそうではな
い場合の2通りがあるため、初学者は
記号がどちらの意味で使われているの
かを自分で読んで判断をしなければな
らない。
