No.51
なので、現在のコンピュータは0次元デーモンの黒数学で成り立つ()
このあたりになると0次元の超ひも理論が...ほんとか？
0次元の超ひもの振動が万能チューリングマシンになるってことか。
なので、現在のコンピュータは0次元デーモンの黒数学で成り立つ()
このあたりになると0次元の超ひも理論が...ほんとか？
0次元の超ひもの振動が万能チューリングマシンになるってことか。
空集合があるなら空写像もあるの？
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概要: 〇はデーモンであり、0次元のデーモンは点が２つ‥だ。bitに相当する。 なので、現在のコンピュータは0次元デーモンの黒数学で成り立つ() このあたりになると0次元の超ひも理論が...ほんとか？ 0次元の超ひ...
なので、現在のコンピュータは0次元デーモンの黒数学で成り立つ()
このあたりになると0次元の超ひも理論が...ほんとか？
0次元の超ひもの振動が万能チューリングマシンになるってことか。
No.52
アイデアは単純だ。循環タグシステムの変種だが、生物に近い。
FIFOではなくブラックホールに類似したdemonがテープのかわり。
空数学というアイデアをありがとう。とりあえず他の板にトランスワープ。
ブラックホールが生命の起源かもね。Black alert!
No.53
公理とみなす命題と命題論理があり、
命題論理を有限回適用して得られる
範囲の体系ではないだろうか。
No.54
No.55
No.56
部分集合の定義より ∀x(x∈X⇒x∈{})。全称除去により c∈X⇒c∈{}。
c∈{}は恒偽だから c∈X は恒偽でなければならない。よってX={}。よって2^{}={{}}。
No.57
55で言い尽くされたこと
No.58
No.59
No.60
空集合
No.61
(1)∀y(¬y∈{}) 前提
(2)¬c∈{}(1)と∀除去
(3)¬c∈{}∨¬d∈X (2)と選言導入
(4)∃x∃y(¬y∈{}∨¬x∈X) (3)と∃導入
(5)¬(∀x∀y(y∈{}∧x∈X)) (4)とドモルガンの法則と二重否定除去
∴{}×X:={(y,x)|y∈{}∧x∈X}={}
No.62
Xを集合とする。
(1)∀y(¬y∈{}) 前提
(2)¬c∈{}(1)と∀除去
(3)¬c∈{}∨¬d∈X (2)と選言導入
(4)∀x∀y(¬y∈{}∨¬x∈X) (3)と∀導入
(5)¬(∃x∃y(y∈{}∧x∈X)) (4)とドモルガンの法則と二重否定除去
∴{}×X:={(y,x)|y∈{}∧x∈X}={}
No.63
y∈{}が恒偽だからx∈Xの真偽にかかわらずy∈{}∧x∈Xも恒偽。よって{(y,x)|y∈{}∧x∈X}={(y,x)|⊥}={}。
No.64
A×BとB×Aが一致するのはどのような
ときか。（配点３点）。
No.65
No.66
1変数の写像（関数）f(x)
なら…
０変数の写像（関数）f
ってのも有っていいし、それって変数の事じゃん？
という事で
空写像＝変数（0変数の写像）
ってのはどうだろう？
No.67
数学は空間の科学だったのかもしれない。そこには不動点（あるいは不変性）もある。
公理的集合論の問題は内包公理ではなく外延性公理の問題だったのかもしれない。
対象を仮想粒子とみなせば、ボース・アインシュタイン統計に従うものと、フェルミ・ディラック統計に従うものと最低でも２種類の対象が必要なのではないか？
No.68
以下 ¬(A={}∨B={}) とする。
いま A≠B を仮定。
あるa∈Aが存在して¬a∈B・・・(1) または あるb∈Bが存在して¬b∈A・・・(2)
(1)のとき、b∈Bを任意に取ると (a,b)∈A×B∧¬(a,b)∈B×A ∴¬A×B⊂B×A ∴A×B≠B×A。
(2)のときも同じことが言えるので結局 A×B≠B×A。対偶を取り A×B=B×A→A=B。
以上から A×B=B×A⇒A={}∨B={}∨A=B。
No.69
時間の位置づけは重要
No.70
可換でもなく結合的でもない。
しかし、((a,b),c)を(a,b,c)とみなし、
(a,(b,c))も(a,b,c)とみなす同一視を
行うことで結合的にできる。
No.71
可換でもなく結合的でもない。
しかし (a,b) を {a,b}と
同一視することにより可換にできる。
No.72
空集合は{}ただ一つあり、空なものはその要素である
の類推から
空写像fはただ一つあり、空なものはそのタプルの要素である
とするならば
[f] = {({}, {})}
なるただ一つの関数f
No.73
>{({}, {})}
それは写像 f:{{}}→X∪{{}}ただしXは集合
No.74
思いついた。
変数 ＝ ０変数の関数。
空集合 ＝ ∅
なら、
f = ∅
というのはどうだろう？
つまり、空集合は空写像でもある。
No.75
(2)直積の定義より ∀a∀b(a={}∨b={}⇒a×b={})
(3)空集合の定義より ∀c(c⊂{}⇒c={})
(1),(2),(3)より ∀a∀b∀f(a={}∨b={}⇒(f:a→b)={})
No.76
集合に対する反集合要素というものを
考えてみる。
集合Aが要素aを含むとき、
Aの反集合\bar{A}は反要素\bar{a}を
含むというように。そうして要素数は
aが1なら\var{a}は-1と数えるなど。
こうしたからといって何も面白いことは
出て来ないような気がするけれども。
No.77
No.78
直積ABの部分集合で特別なもの
じゃないよな
この解釈だと恒等写像と包含写像が区別できない
No.79
No.80
AとBの濃度は必ず異なることを
示しなさい（配点５点）。
No.81
べき集合の定義よりBからFへの全単射が存在する。
いま |A|=|B| を仮定する。
仮定より全単射 g:A→F が存在する。
f0∈F を f0(a)≠(g(a))(a) で定義したとき ¬f0∈g(A) であるからgが全射であることと矛盾する。
矛盾が導かれたので仮定は否定される、すなわち|A|≠|B|。
No.82
始域終域グラフの三つ組
No.83
No.84
Xとする。定義からXは自分自身も自分の
冪集合もその要素として含んでいるはず
である。よって X∈X、2^X∈X。
そうして冪集合の定義から X∈2^X 。
No.85
いまXは集合と仮定する。
べき集合の公理より2^Xが存在して ∀x(x∈2^X⇔x⊂X⇒x∈X) ∴2^X⊂X
よって濃度の定義より |2^X|≦|X| だが、これはカントールの定理 |2^X|>|X| と矛盾。
ゆえにXは集合でない。
No.86
如何なる言明であることが必要であり、
また十分であるといえるか。
あるいはある言明が与えられた場合に
それが集合を表すことかどうかを
決定することが常に可能だろうか。
No.87
反証可能でないことはxが集合であるための必要条件。
証明可能であることはxが集合であるための十分条件(※3)。
※1 高階の場合、文が証明可能であることと妥当な論理的帰結であることは同値でないのでより多くのパターンがある。
※2 無矛盾性を前提しない場合、証明可能且つ反証可能というパターンもある。
※3 必要十分条件ではない。なぜならその文が集合論から独立ならxが集合でないことは言えないから。
ゲーデルの不完全性定理より集合論が無矛盾なら集合論から独立な文が存在するから、「xは集合である」という文の真偽は常に決定可能ではない。
例えばZFC集合論が無矛盾なら「最小の無限順序数ωに対して |ω|<|x|<|2^ω| を満たす集合xは存在しない」という文（連続体仮説）はZFC集合論から独立。
No.88
A ⊂ B ⇔ A×C ⊂ B×C
は言えるか。（配点３点）。
No.89
あれば、Cとして空集合をとると、
AｘC、BxCが空集合となるため、
A×C ⊂ B×C は成り立たない。
No.90
任意のA,Bで A ⊂ B は成り立たないと言いたいのかな？
No.91
記号であれば、{}⊂{}は成り立たない。
等しい場合も含めている⊆の意味ならば
成り立つ。
集合の記号⊂は著者の流儀により⊆と
同じ意味に使われる場合とそうではな
い場合の2通りがあるため、初学者は
記号がどちらの意味で使われているの
かを自分で読んで判断をしなければな
らない。
