定理1:
選択公理⇔整列可能定理
よって実数の集合Rに整列順序を入れることができる。以下、この順序で考える。
定理2:
文章で定義不可能な実数が存在する
証明:
すべての文章の集合は高々可算であるため。□
定理2より、文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
つまり、選択公理は偽だった。 以下、その順序で考える。
文章で定義不可能な実数は存在しない。
実際、写像 f:Λ→R が順序同型となるような順序数Λが存在し、文章「第λ番目の実数はf(λ)である」の全体（濃度|Λ|）で実数すべてを定義できる。 選択公理、今調べたけど、この話か
ホテルの客室が∞にある時、1個空けで選んでも∞にあるから、
0個空け−1個空け＝客室0個
これが選択公理では？
実際は
0個空け−1個空け＝∞のまま、但し濃度が薄い
だけなのに
ではない？
10×0.999…−0.999…＝9
が選択公理では？
本当は
10×0.999…−0.999…＝8.999…
だろうに
あ…変わらなかった
0.999…＝1
どちらもこれをどのタイミングかにやってるだけか
あれ？するとホテルの客室は0個になる話に選択公理だとなる
1未満だと選択公理は真で
1以上だと選択公理が偽が
答えでは ようは
1つの集合に要素が∞個ある集合を∞個用意して1個ずつ選んだら途端に∞個の全集合が消失するのが選択公理では？ この全集合消失は
1未満では真で
1以上では偽
と ホテルの客室の
0個空け−1個空け＝∞のままでなく客室0個
これ
解析接続がまんま、選択公理の1以上の偽の操作してるんじゃ？ だから
選択公理が1未満しか真でなく
1以上が偽であることの
証明がないと
解析接続が今の状態になる問題
選択公理は半面真なだけ >>12
文章の定義を教えて
どうだと文章でどうだと文章でないの？ 任意の文章sに実数f(s)を対応させ、それをf(s)の定義としても、
文章s「文章で定義できない最小の実数」に対応するf(s)は、
日本語の意味での「文章で定義できない最小の実数」ではない
sはある形式言語におけるf(s)の表現でしかない 選択公理をいろいろ調べたけど、成り立つのが不思議。
おそらく集合の概念をおれが間違っているのだろうと思う。
素朴集合論において実数の集合ってつくれるのだろうか？
ZF(C)でも実数の集合はつくれるのだろうか？ 実数の集合が定義できることと、すべての実数が定義できることは全く別 >>1
>すべての文章の集合は高々可算である
なんで？ >>1
>文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できる
なんで文章で定義できないxが文章で定義できるの？ >>1
>矛盾。
>つまり、選択公理は偽だった。
xが文章で定義でき且つ文章で定義できないなら矛盾では？
なぜ矛盾の原因が選択公理を仮定したことだと言えるの？ >>1
>選択公理⇔整列可能定理
整列可能定理は関係無いだろ
選択公理を仮定すればRの空でない任意の部分集合の代表元が取れて、最小元を代表元に置き換えても同じ議論が成立するじゃん >>1
>文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾
文章で定義できない実数はwell-definedでないから矛盾とは言えない >>17
実数の集合の定義はZF(C)を満たせるのか、ということ。
無制限な内包公理にしかみえなかったので。 >>23
いや、選択公理すら不要。
>文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
を
文章で定義できない任意の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
にすればいいだけ。 任意のxについて、xが文章で定義できないものであるなら、xは「文章で定義できないもの」という文章で定義でき、逆にxが「文章で定義できないもの」という文章で定義できるなら、xは文章で定義できない。
すなわち、xが文章で定義できることをP(x)で表すと、P(x)⇔¬P(x) が成り立つ。
パラドックスの原因は述語でないP(x)を述語として扱ったこと。アリティ1の述語はドメインの部分集合だが、P(x)はそうでない。 結論 xが文章で定義できることをP(x)で表す。P(x)は論理式でないから
>>1
は証明でない。
以上 文章で定義できるもの全体の集まりXを集合と仮定する。
いま ¬x∈X とする。
この時「xは文章で定義できない何かしらのもの」という文章でxは定義できるから x∈X である。
矛盾が導かれたからXは集合でない。 ZFCの公理系は一階述語論理で書かれるのであって、日本語で書かれるものではない。
各種の集合はZFCの公理系を組み合わせて得られるのであるから、
それらの集合も一階述語論理で書かれる。
すなわち、何かしらの集合 M を定義したいとして
M：＝{ x｜xは〜〜〜を満たす }
と定義したとき、「xは〜〜〜を満たす」という文章は、
厳密には述語論理で書かなければならない。 xという命題の否定ですから真/偽ですね。
とくに矛盾しませんね。 >>1
のケースでは
M：＝{ x∈R｜xは文章で定義できない }
という集合を定義することになるが、まず最初に
「xは文章で定義できない」
の部分を1階述語論理で表現し直さなければならない。
しかし、これは1階述語論理の範囲では不可能である。 それどころか、定理2(
>>1
)の証明の
＞すべての文章の集合は高々可算であるため
が間違っている。ここでは
A：＝{ 文章を全て集めたもの }
を考えて、このAが高々可算であることを示そうとしているが、
そのためにはまず、「文章を全て集めたもの」という日本語を
1階述語論理で表現しなければならない。
しかし、これは1階述語論理の範囲では不可能である。 >>32
>「xは〜〜〜を満たす」
は論理式であることが必要。「xは文章で定義可能」は述語の定義を満たさないので論理式ではない。日本語うんぬんは関係無い。
ちなみにZFでは
>M：＝{ x｜xは〜〜〜を満たす }
の形は許容されない。Mは何らかの集合の部分集合であることが必要。
>>34
>「xは文章で定義できない」
>の部分を1階述語論理で表現し直さなければならない。
>しかし、これは1階述語論理の範囲では不可能である。
一階述語論理の述語であればよい。述語（ドメイン上の1項関係＝ドメインの部分集合）でない（要するにドメインのある定数xについてP(x)の真偽が定まっていない）のがダメ。
>>35
>このAが高々可算であることを示そうとしているが
示そうとはしてないね。決め打ちで高々可算としている。
で、ここは単に文章で定義できない実数が存在すると言いたいだけで、ぜんぜん本質じゃない。 >>25
です。
やっとポーランド空間をみつけました。これならとりあえず、実数の集合は納得できます。
昨夜、ポーランド空間と似たようなものを思いついていたのですが、ポーランド空間の一種だったのかもしれません。実行記述集合論をあたってみます。 う、実効記述集合論の間違いです。まあ、プログラムで検証しようとしているので実行でもあるのですがね。 実数のある無限集合が「存在する」からといって
そこから「最小の実数ｘをとることが出来る」
と決めつけているが、それはまさに選択公理を
密輸して使っていることに他ならない。 「定義できる」の意味がわかってない人たち→
>>3
>>26 「文章」の意味が分かってない人たち（数学無関係。日常生活レベルでヤバい）→
>>13
>>19 背理法が理解できてない人たち（高校数学レベル）→
>>22
>>39>>41
実数0を2個以上の論理式の列で一意に定めてみて >>41
実数0を2個以上の論理式の列で一意に定めてみて >>44
君は分かってるの？ ならなぜ
>>19
に答えないの？ 分かってる振りしたいだけだから？ >>48
逃げるなら最初からしゃしゃり出てくんなよクズ >>48
逃げるなら最初からしゃしゃり出てくんなよクズ 選択公理が間違いとか言っちゃうトンデモ（入院レベル） →
>>45>>52
逃げるなら最初からしゃしゃり出てくんなよクズ 自信満々に間違えてる人たち →
>>15
28
>>34
※おそらくベリーのパラドックスやリシャールのパラドックスと勘違いしている ID:+DumpEtF
君の得意な背理法で選択公理が間違いであることが証明できるんでしょ？
現代数学を根底から覆す大発見だから論文書きなよ
選択公理のZFからの独立性を証明したコーエンはフィールズ賞もらったよ ZFCを記述可能な形式言語で書き直したとしても同じことが起きるから、文章だとか自然言語だとかは関係ない
>>1
>xは文章で定義できる
ここが間違い
整列可能定理で取ってくる順序が一意に定まらないから、記述言語を定めた時点でxは定義できていない
ちなみにChatGPTに聞いても、「この問題はリシャールのパラドックスに関係している」と間違えた >>55
なぜ君は
>>1
に対する君の見解を述べないんだ？
自信満々に他者を間違いと断じておきながら、自分の見解を述べることから逃げる卑怯者だからかい？ >>57
てことは非可算集合に入る整列順序は必ず二個以上あることが証明できるわけか >>60
そりゃ任意の二元を選んで順番入れ替えりゃ別の整列順序になるからもっと簡単に言える >>58
否定で語るバカ発見
否定で語ることの無意味さを知らないのはバカである証拠 >>57
>整列可能定理で取ってくる順序が一意に定まらないから、記述言語を定めた時点でxは定義できていない
一階述語論理の存在例化推論規則を知らんのか？
整列可能定理を認めるなら存在例化によりRの整列順序を一意に定めることができる。
もちろん構成的に定める訳ではないから具体的に示すことはできないが、この場合そんなことはどうでもよい。 >>60
ナンセンス。
1個か複数個かはどうでもよろしい。この場合意味があるのは存在するか否かだけ。
君も一階述語論理の存在例化推論規則を知らんようだな。
何だこのスレは。無知の巣窟か？ >>63
（アホ）「実数は存在する。したがって実数は一つしかない」 >>63
（アホ）「実数は存在する。よって実数xを任意に取る。xは一意に定義されている。」 選択公理はそれを公理として取り入れる体系も
取り入れない体系もどちらもそれぞれ無矛盾に
存在できる。 >>67
存在例化推論規則を理解できないアホがなんか言っとる >>68
一意に？ 日本語読めんなら国語からやり直せば？ 何も語れないいっちょがみ → >48 >52 >66 >>69
惜しいけど間違い。
選択公理はZFから独立（コーエンが証明）だから、ZFが無矛盾ならZFCも無矛盾。
しかーーーーーーーーし ZFが無矛盾であることをZFで証明することは不可能（ゲーデルの不完全性定理）。 何も語れないいっちょがみ → >48 >52 >58 >66 自信満々に文章が分かってないと断じておきながら文章全体の集合がなぜ高々可算か答えられないアホ
実数が定義できるの定義は有限個の論理式の列で一意に定まることと答えておきながら実数0を2個の論理式の列で一意に定める例も答えられないアホ
自信満々に間違ってると断じておきながら自分の見解は一切述べれないアホ
論理の初歩が分かってないアホ
アホ自慢を楽しむアホ
このスレアホばっかで草 >>41
論理式の有限列で定めるってどういうこと？ なんで列なの？
証明（＝ある条件を満たす論理式の有限列）と勘違いしてんのか？
いずれにしろ実数0を2個の論理式の列で一意に定める例を答えず逃げたってことはお里が知れちゃったね しゃしゃり出て来て恥ずかしいね >>62
あ！ そういうことか。
否定で語るというのは「防衛機制」の一種だ。
反抗期かな。 >>84
何を訳分からんこといっとんだちみは
ちみに問題 実数xは0でない xが何であるか答えよ 世の中のすべて（数学も含む）を統一する根本原理（万物理論）は何か。
という問いの答えが「（広義の）防衛機制」にあるのではないか、と思っていろいろ散策/探索しているわけです。
数（数学的対象）であっても（数そのものの）防衛機制で扱えるでしょう。
ま、アホな否定は幼児性ということでもよいのですがね。 >>83
わかんないなら騒ぐのでななく調べましょう >>43
実数を一意に定められることじゃないの？ f(λ)で一意に定まっとるやん なに言ってんだおまえ
>>87
わかんないならしゃしゃり出てくんなクズ てか新発見したと思うなら論文にして発表したらいいんじゃない？ >>92
具体的に誰が「新発見した」と言っているの？ >>91
あれほど教えたのに全然分かってなくて草
証明内（述語論理の推論過程内）では存在するものは固定してよいんだよ だからRの整列順序もΛもfも固定してよい
f(λ)を求めよ？ 証明外で固定できると誤解してんのか？ 論理の初歩も分からんバカがしゃしゃり出てくんなよ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BE%8B%E5%8C%96" target="_blank" rel="noopener">https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AD%98%E5%9C%A8%E4%BE%8B%E5%8C%96
「存在例化（中略）は、述語論理において、(∃x)φ(x)という形式を持った式が与えられると、新しい定数記号cについてφ(c)を推論することができるという、妥当な推論規則のひとつである。」
「(∃x)Fx::Fa,ここでaは（中略）証明の結論部にも現れてはならない。」 証明内と証明外の区別ついてないアホは何なの？
なんで数学の基礎である論理を初歩から分かってない数学板にいるの？ なんで数学の基礎である論理を初歩から分かってないのに数学板にいるの？ 選択公理が間違ってる事を発見したなら世界の数学界が大発狂するレベルの新発見だろ？ >>93
>>1
は選択公理が偽である集合論上の証明と言いたいの？ ならそうであることを示してみて >>97
それは誤解
大発狂すべきは、選択公理がZFから独立でないという発見（すなわちコーエンの証明のギャップの発見）
ある公理系Aが無矛盾かつ選択公理CがAから独立ならA+CもA+¬Cも無矛盾だから、選択公理が偽である集合論は存在する 研究価値があるかは知らんｗ >>97
現行の数学界では選択公理はZFの公理と独立で選択公理も選択公理の否定もZFからは証明できないと信じられているし、その証明も発表されていて間違いないと思われている。
それが間違いなら数学界大沸騰の大発見やろ
是非発表せんとダメや >>90
>すべての文章の集合は高々可算であるため。
かい？ じゃあ
>すべての文章の集合は高々可算である
の証明は？ >>1
文章とは述語論理の文すなわち閉論理式のことかい？
文章全体の集合が高々可算であるような理論を前提にしているのかい？
じゃあ
>定理2:
>文章で定義不可能な実数が存在する
>証明:
>すべての文章の集合は高々可算であるため。□
は一旦受け入れるとして、
文章で定義できない実数全体の集合は一意でないから、いずれか一つ固定しない限り
>定理2より、文章で定義できない最小の実数xを取ることができる
は言えないのでは？
逆にいずれか一つ固定したなら、xは文章で定義できない実数だから
>xは文章で定義できるので矛盾。
は言えないのでは？ >>94
だからいい加減
実数xを取る
xの値を求めよ
これに答えろよ（笑） >>105
じゃおまえがアホじゃない見解書けばいいじゃん 書けるならｗ >>109
>>1
は正しい？ Y/N
答えられないなら学部二年の集合論からやり直しましょう >>111
>>1
は正しい？ Y/N
答えられないなら小学校の国語からやり直しましょう 無限集合のクラスを分けて、あるクラスの無限集合では
選択公理はなりたつ（別のクラスの無限集合については
成り立つとも成り立たないとも何もいわない）、といった
制限された選択公理を導入しても、その体系は無矛盾だろ
うかな？ 例えば連続濃度以下の無限集合に対しては
成り立つことを認める、みたいな制限。 制限された選択公理の集合論は、こないだどこかで読んだけど、どこだったか思い出せない。
まあ、独立してるんだし、条件あるんだったら無矛盾とは思うが。
（条件のせいで矛盾する可能性はあるか...）
集合族を制限してるのはWikipediaの選択公理にもある。 行き先の集合が2点だったり3点だったりするとどうなるかはalg_dチャンネルで見たような気がするなあ
ややこしすぎて意味わからんかったが >>104
>有限数列の集合は可算だから
実数全体の集合Rは非可算だから、1実数列の集合 {0}×R は非可算。
実際、自明な全単射 f:R→{0}×R,f(r)=(0,r) が存在する。 実数rが定義可能とは、自由変数を一つ持つ論理式φ(x)が存在して、rはφ(r)を満たす唯一の実数であること。
>>1
の構成では、xは整列順序≤の取り方に依存しているから、定義式の外部から与えることができない。 「選択公理は正しくない」という公理を設けたら、
その体系の中では通常の「選択公理が正しい」
としている定理のほとんどを否定した定理が次々と
作れて論文の数が稼げそうだが。 「選択公理から導出される命題の否定は選択公理の否定から導出される」は言えない。
言えるのは選択公理と同値な命題の場合のみ。 P⇒Q |= ¬P⇒¬Q は間違い
P⇔Q |= ¬P⇔¬Q は正しい >>1
選択公理ってことはZFC集合論を前提にしてる？
だとしたら命題
>文章で定義不可能な実数が存在する
をZFC集合論の言語で書いてみ？（言ってる意味わかる？）
もし書けないなら
>>1
はそもそも意味をなさない。ZFC集合論を前提にしてるのにそこから逸脱してるから。残念！ 「有限長の文章の全体」はそれをUNICODEで表せば
非負整数の全体と一致するので可算濃度。
実数はカントールの証明を信じるならば非可算濃度。
（自分にはカントールの証明はどこかに選択公理が
密輸されている感じがしてならないのだが）。
よって両者の集合の濃度は異なり、
実数の集合の濃度＞有限長の文章の濃度、であるから、
任意の実数をある文章に対応させること、すなわち
任意の実数をそれを文章によって特定させることは不可能。
文章によって特定できるような実数の全体は、
実数の中の可算な部分集合をなしている。 それ部分集合じゃないよ
だって集合ですらないじゃない >>129
「非公式には、定義可能実数（ていぎかのうじっすう）とは説明によって一意的に定まる実数のことである。 ここでいう説明とは構成方法のことや形式言語の式で表現されるものである。」
>文章で定義不可能な実数が存在する
は形式言語の式で表現されると？ じゃ表現してみて >定理2:
>文章で定義不可能な実数が存在する
>定理2より、文章で定義できない最小の実数xを取ることができるが、xは文章で定義できるので矛盾。
文章で定義できない実数は一意でないから、定理2から「文章で定義できない実数全体の集合が定義されている」は言えない。
よって「その最小元xが定義されている」も「xは文章で定義できる」も言えない。 可算個の実数を文章で定義した（できるとして）とき「xは文章で定義できない且つ文章で定義できる」という矛盾が生じる。
これはベリーのパラドックスの類似。
https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_paradox" target="_blank" rel="noopener">https://en.wikipedia.org/wiki/Berry_paradox
The Berry paradox as formulated above arises because of systematic ambiguity in the word "definable".
上記のようにベリーのパラドックスは、「定義可能」という単語の体系的なあいまいさのために生じます。 いずれにしろ
>>1
は集合論の言語に翻訳できないから証明になってない。 >>132
すでに指摘されている間違いをなんで繰り返すかな 1ヶ月近くも粘着してるアホがいるが、数学的な理解も浅いし、そもそも日本語が理解できてない >>57
や
>>120
で答えが出ているのに理解できずに耳学問で間違いを垂れ流し続けるアホ >>57
や
>>120
は間違いと答えが出ているのに理解できずに耳学問で間違いを垂れ流し続けるアホ ツイッターでバイトテロの動画とか上げて注目を浴びたいというならまだ理解できるが、こんな過疎板で下らない間違いを主張し続けて何が楽しいんだろう あまりに
>>1
がしょーもなくなるので端から無いと決めつけてたが、
>>57
>>120
が正解となるような「文章で定義可能」の定義もあり得るな
そっか・・・
>>1
ってそんなしょーもない話だったんか がっくしやな orz 選択公理からは選択関数の存在しか言えない
整列可能定理からは整列順序の存在しか言えない
たったそれだけのことかよｗ あほくさー >>1
の要約
選択関数 φ:2^R→R を構成できないから選択公理は偽
↑
アホ丸出し 選択公理の否定「ある空でない集合Xが存在して、Xの任意の元は空でなく、且つ関数 f:X→∪X で f(x)∈x を満たすものが存在しない」
fを構成できないことは選択公理の否定の必要条件だが十分条件ではない。構成できないからといって存在しないとは言えないから。 実数の部分集合に対して、その部分集合が
下に有界ならば、その部分集合の下限には
最大値が存在する。 まだやってんのか
頭が悪いと自分の頭の悪さを自覚するのも難しいんだな >>146
下限＝下界全体の集合の最大元。
実数の公理から、空でなく下に有界な部分集合に下限が存在することが直ちに言える。 ではどうやってその下限を構成できるか？
Aが実数の部分集合で下に有界であるときは
f(A) = b ただしｂはＡの下限
となる関数ｆは存在しても、
構成は一般にはできない。 >>147
タイトルから危険なのは察することができる。
私はつい昨日、酷い人に絡まれた。「どうなのか」が口グセの板では有名な人かもしれないが、初心者の私は洗礼を受けたよw 集合Xにかくかくしかじかの性質を
持つ元が存在するなら、そのような
性質を満たすXの元aを一つ取り出せる。
これは有限集合ならば、具体的に元を
必つずつ調べて行けば有限のステップで
実現できるから当然であるが、無限集合
の場合にはそのような手段を具体的に与
えることは一般には無理だ。
存在するならばその例を取り出せるという
便利な魔法が使えるなら、具体的な構成法
に言及することなく、性質を満たす元の存
在を示すことだけが要求されることになり、
物事が簡単化されるので数学者は存在証明
をすることだけが仕事になったような感が
ある。 >存在するならばその例を取り出せるという便利な魔法が使えるなら
証明内では述語論理の推論規則：存在例化が使える。
存在例化で無限族から元をひとつずつ取り出すことはできない。証明は有限長でなければならないから。 当たり前だが、存在命題そのものが偽であるとき、∃で量化した変数が定義を与えることはない 存在例化と言ってるのだから存在例化を勉強してから発言してくれない？ 話にならんよ >>157
くだらん
俺に手数をかけさせるのではなくお前が説明しろ >>158
おまえが一生バカのままでも俺は何も困らない >>160
では、お前はスレと無関係なことを延々と書いているということ >>151
と存在例化が無関係と言うおまえが初歩の初歩から分かってないだけのこと 能力が低いと自分が間違っていることを自覚することも難しい タイトルが逆張りしているものは、基本スルーで良し。
数学の定理は覆らないんだよ。
公理は捻じ曲がるときもあるが。（非）ユークリッド幾何学の平行線公理とか。 >>1
は選択公理を仮定すれば選択関数を構成できると言ってるが、ど素人の妄言であり論ずるに及ばず。 この板に〇〇なのか、が口グセの人がいるが、その人も怪しいから注意してね。
数学科なのかどうかも怪しいから。 >>170
君は
>>1
をどう思う？
一番怪しいのオマエやんってツッコまれないよう答えてなｗ >>171
俺は選択公理とツォルンの補題や整列可能定理の同値性が分からんから何も言えないけど、逆張りのスレはただの構ってちゃんなんだよ。
こういうのは首を突っ込まずにスルーが一番。俺は中堅大の院試ならまあまあ解けるレベルだが、選択公理なんて聞かれないからパスするわ。 >>1
の主張が正しいのなら、ツォルンの補題や整列可能定理も怪しいことになるが、今のところ触れてはいないのかな？
まあ、時間の無駄だから辞めておいた方が良いが…。 >>173
理解力低いとか話が噛み合わないって周りから言われない？ >>173
誰も
>>1
が正しいなんて話をしとらんが >>174
批判するなら、数学に絡めてもらえますか？
ただの誹謗中傷はやめて下さい。 >>173
インターネットの参入ハードルが低くなりすぎて、こういう暗黙の諒解の通じないニワカも数学板なんか見るようになったということ >>177
私はこの板の新参者だが、タイトルが逆張りやスレ主がほぼ一人で自演しているスレがようやく分かってきた。
構ってちゃんにはスルーが一番効くからw >>177
ん？マジレスするなということかな？
だったら他に適した板があるような気もするが・・・。 同値性証明で圧倒的に易しいのが整列定理⇒選択公理、ちょっと難しいのが選択公理⇒整列定理と選択公理⇒ツォルンの補題、圧倒的に難しいのがツォルンの補題⇒選択公理 まあどうでもいいわ。
こんなスレ1ミリも面白いと思わないしw
俺は安全なタイトルのスレだけ訪問するわ、じゃあなw >>180
真面目な書き込みもあるじゃん。
私はお笑いは大好きだが、トンデモ系は勘弁してくれ。
ふざけたいのなら、もう少しやり方があると思うよ。 数学ジョークの話としては、例えば「ビブンのことはビブンでする」とかね。
知らなかったら、調べてみると良いよ。 >圧倒的に難しいのがツォルンの補題⇒選択公理
与えられた集合（それ自身もその元も空でない）の選択関数の制限全体の集合Xをその上の包含関係⊂で半順序集合(X,⊂)と見做し、ツォルンの補題の前提条件を満たす（従って極大元が存在する）ことと極大元が求める選択関数でなければならないことを示すんだけど、
Xの任意の鎖Yが上に有界であることを示すために∪YがYの上界であることを示すところで∪Y∈Xを示すのが非常に難しい。 私は松坂先生の本でツォルンの補題のページを見て衝撃を受けたから、道具として使うだけで良いなw 現代の数学者は、非構成的な証明を行う
ことがその仕事のようである。理論や
定理や定義や論理もそれに沿って作られ
ている。すると具体的な構成法を伴わない
ので、それを異分野でそっくり応用する
ことができる見込みは相当に薄くなる。 
