No.51
ベクトル束ってなんの役に立つの？
レス数: 103
概要: prolongation
No.52
いろいろ役に立つ
No.53
No.54
No.55
3次元球面の接束は直積束だが
No.56
>3次元球面の接束は直積束だが
2を見たらこう書いてあるのだが↓
局所的には直積だが、大域的にはねじれてるので直積でない
したがって、至る所０でない切断が存在しないことがある
典型的な例は球面の接束
No.57
S³はリー群だから接束は自明
No.58
複素数空間上の不分岐なRiemann領域であるというのが
未解決の難問の一つ
No.59
No.60
の文章の球面はもちろん２次元曲面
だから
>>55
がスットコドッコイ
No.61
No.62
ベクトル束(幾何)のスレで、球面と書けばすべての次元の球面と捉えるのが普通
幾何学の世界で「球面=2次元」と思っている方が非常識
No.63
ボットの周期性から分かる
No.64
数学もロクに知らん素人が大多数の５ｃｈで、球面と書けば２次元の球面のこと
球「面」と書いてるのに、任意ｎ次元だと飛躍するのは独善的な玄人だけ
No.65
そういうものがあるのは知ってるが
どうやって証明するかは知らんから
自分にとっては全然自明ではない（開き直り）
No.66
素人だろうが、ベクトル束を語るには「球面=2次元」という認識は非常識
No.67
な人がべくたーばんどるガーって面白いね
No.68
非自明束の例を示すのに「球面」といってるんだから
２次元球面のことだなと考えない奴のほうが独善的じゃね？
No.69
で、なんの役に立つかっていうと、物理とかで結構使われてるみたい。例えば、電磁気学とか、素粒子物理学とかのゲージ理論っていうやつで、このベクトル束の考え方が出てくるらしいよ。
あとは、多様体っていう、ぐにゃぐにゃした図形の上で、ベクトル場とか関数を考えるときに、土台になってるんだって。なんか、球の表面でベクトルがどうなってるかとか、そういうのを数学的に厳密に扱うために必要なんだってさ。
まあ、正直、私もそこまで詳しくないんだけど、そういう最先端の物理とか数学の理論を理解するためには、ベクトル束って概念が欠かせないってことみたい。
No.70
高卒？
No.71
専門家でないとここまで要点を抑えた説明はできない
No.72
は何かGrokっぽい
No.73
かいかぶり 相手を見る目が全くない
No.74
その理由を要点を抑えて的確に述べるなら？
No.75
No.76
No.77
No.78
No.79
各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル
接バンドルの一般化がベクトルバンドル
ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類
多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M
接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である
π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M
No.80
(2) MがRⁿの部分多様体の時、
TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける
TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、
v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ
(3) 一般の場合
多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ
接ベクトルv∈T𝔭Uに対して
φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ
写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する
v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ
φ~は1対1上への対応
各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する
TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)}
(U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式
座標変換が全てC^∞級となる
No.81
E, MはC^∞多様体、π: E→Mは上へのC^∞写像
(1) ∀p∈M: π⁻¹(p)はR上のn次元ベクトル空間
(2) ∀p∈M, ∃pの開近傍U: 微分同相写像φᴜ: π⁻¹(U)≅U×Rⁿが存在し、
π⁻¹(q)への制限が線型同型写像∀q∈U: φᴜ: π⁻¹(q)≅{q}×Rⁿを与える
ここでRをCに変えるとn次元複素ベクトルバンドル
直線バンドル
Eは全空間、Mは底空間、πは射影
π⁻¹(p)=E𝔭をp上のファイバーと言う
(E, π, M)でなくπまたはEだけでもベクトルバンドルと言う
一般に、開集合とは限らずMの部分多様体Nに対して局所自明性の条件を満たす微分同相写像φɴ: π⁻¹(N)≅N×RⁿをN上の自明化と言う
変換関数は2つの自明化のずれを表す
コサイクル条件αβ βγ=αγ
開被覆とコサイクル条件によりベクトルバンドルを構成出来る
ベクトルバンドル同士の写像をバンドル写像
π: E→M、π: F→N、f: M→Nに対して
f~: E→F
積バンドルと自明なバンドル
同型はベクトルバンドル全体に同値関係を定める
No.82
π◦s=idᴍとなるC^∞写像s: M→Eを切断と言う
切断sとは点pに対してその上のファイバーの点s(p)を対応させるもの
切断を使って自明化を言い換えることが出来る
切断全体に加法とスカラー倍を定義することが出来てベクトル空間になる。
接バンドルTMの切断はM上のベクトル場
No.83
No.84
こほもろじーでもやってな
No.85
No.86
No.87
No.88
No.89
君が清太なら、妹になんて説明する？
No.90
No.91
No.92
>曲がっていることをアピールしたいから
誰がアピールしたいの？ベクトル束自身が？それともそれを見つけた数学者が？
No.93
No.94
No.95
https:
No.96
No.97
超高次元世界に彼の疑似意識が宿っている世界だから
No.98
ワイルズだと答えてきた
No.99
No.100
