No.1
ベクトル束ってなんの役に立つの？
レス数: 103
概要: なんでこんなものを考えるの？
No.2
したがって、至る所０でない切断が存在しないことがある
典型的な例は球面の接束
No.3
No.4
https:
No.5
https:
No.6
https:
No.7
https:
No.8
そういうM5XnspsE君の仕事は？
No.9
No.10
No.11
あるからだよ
No.12
接線とか微分系式とかテンソルとかデヴァイザーとかいらないか
No.13
No.14
No.15
No.16
No.17
No.18
No.19
葉層構造の「切断」のようなものではないか
No.20
No.21
No.22
No.23
No.24
No.25
No.26
No.27
No.28
幾何学者は難しい空間上で簡単な式を考える
一長一短であろうか
No.29
No.30
No.31
No.32
正確には主G束を導入することで対称性を定式化する。主G束は一次元層コホモロジーでパラメトライズされるから、コホモロジー長完全列に現れる特性類を用いて対称性構造の一意性や存在性に関する分析ができる。さらに主G束に接続を導入することでさまざまなG不変な微分方程式を同伴束に定式化できるし、切断をLpやソボレフ、ヘルダーにすれば通常の偏微分方程式論を展開できる。方程式の解のなす空間を対称性によって割るとモジュライ空間になり、この空間のトポロジーを調べると、もとの多様体の解析的構造に関する情報が推測できる。成果としてはリッチフローの方程式を使って幾何化予想を解いたり、ヤンミルズ方程式を使ってドナルドソンの定理を示したり。
No.33
それ分割原理(Splitting principle)のこと？
https:
No.34
1次の乗法的コサイクルの同値類が束
No.35
主G束での変換関数についてのg_ab g_bc=g_abは{g_ab}が層コホモロジーのKerδの元なことと同じ。
Imδで割るのは複数の変換関数が同じ束を定める条件式が出るから。
そもそも層コホモロジーのモチベーションって貼り合わせ方を分類することだから。
だから複素幾何では正則線束を調べるためにピカール群使ってる。
No.36
No.37
No.38
ある場ねえぜ
No.39
No.40
これのことか？
バーコフ・グロタンディークの定理
https:
No.41
No.42
「主束 層コホモロジー」
でググれば出てくる
Wikiには無いんじゃない？nLabには書いてあった気がする。
No.43
No.44
No.45
No.46
つまりスキームに対して次数付き代数が対応することが便利
No.47
かまわないのでは？
No.48
No.49
No.50
No.51
No.52
いろいろ役に立つ
No.53
No.54
No.55
3次元球面の接束は直積束だが
No.56
>3次元球面の接束は直積束だが
2を見たらこう書いてあるのだが↓
局所的には直積だが、大域的にはねじれてるので直積でない
したがって、至る所０でない切断が存在しないことがある
典型的な例は球面の接束
No.57
S³はリー群だから接束は自明
No.58
複素数空間上の不分岐なRiemann領域であるというのが
未解決の難問の一つ
No.59
No.60
の文章の球面はもちろん２次元曲面
だから
>>55
がスットコドッコイ
No.61
No.62
ベクトル束(幾何)のスレで、球面と書けばすべての次元の球面と捉えるのが普通
幾何学の世界で「球面=2次元」と思っている方が非常識
No.63
ボットの周期性から分かる
No.64
数学もロクに知らん素人が大多数の５ｃｈで、球面と書けば２次元の球面のこと
球「面」と書いてるのに、任意ｎ次元だと飛躍するのは独善的な玄人だけ
No.65
そういうものがあるのは知ってるが
どうやって証明するかは知らんから
自分にとっては全然自明ではない（開き直り）
No.66
素人だろうが、ベクトル束を語るには「球面=2次元」という認識は非常識
No.67
な人がべくたーばんどるガーって面白いね
No.68
非自明束の例を示すのに「球面」といってるんだから
２次元球面のことだなと考えない奴のほうが独善的じゃね？
No.69
で、なんの役に立つかっていうと、物理とかで結構使われてるみたい。例えば、電磁気学とか、素粒子物理学とかのゲージ理論っていうやつで、このベクトル束の考え方が出てくるらしいよ。
あとは、多様体っていう、ぐにゃぐにゃした図形の上で、ベクトル場とか関数を考えるときに、土台になってるんだって。なんか、球の表面でベクトルがどうなってるかとか、そういうのを数学的に厳密に扱うために必要なんだってさ。
まあ、正直、私もそこまで詳しくないんだけど、そういう最先端の物理とか数学の理論を理解するためには、ベクトル束って概念が欠かせないってことみたい。
No.70
高卒？
No.71
専門家でないとここまで要点を抑えた説明はできない
No.72
は何かGrokっぽい
No.73
かいかぶり 相手を見る目が全くない
No.74
その理由を要点を抑えて的確に述べるなら？
No.75
No.76
No.77
No.78
No.79
各点の接空間を全て集めたものを考える。これが接バンドル
接バンドルの一般化がベクトルバンドル
ベクトルバンドルを調べるのに重要なのが特性類
多様体Mの接バンドルTM=∪p∈M T𝔭M
接ベクトルX∈T𝔭Mに対してπ(X)=pとおくとπ: TM→Mは射影である
π⁻¹: M→TMでありπ⁻¹(p)=T𝔭M
No.80
(2) MがRⁿの部分多様体の時、
TM={(p, v)∈(M, T𝔭M)⊂TRⁿ}と書ける
TRⁿ=Rⁿ×Rⁿ、
v∈T𝔭M⊂T𝔭Rⁿ={p}×Rⁿ
(3) 一般の場合
多様体MのアトラスをS、Sに属する局所座標系を(U, φ)とする。φ(U)⊂Rⁿ
接ベクトルv∈T𝔭Uに対して
φ※(v)=∑aᵢ∂/∂xᵢ
写像φ~: π⁻¹(U)→φ(U)×Rⁿ⊂R²ⁿを次で定義する
v∈T𝔭Uに対し、φ~(v)=(φ(p), a1, a2, …, an)∈φ(U)×Rⁿ
φ~は1対1上への対応
各π⁻¹(U)が開集合であり、φ~は位相同型であることを要請することによりTMの位相を定義する
TMのアトラスS~={(π⁻¹(U), φ~)}={(T𝔭U, φ~)}
(U, φ)∈S、接ベクトルの変換公式
座標変換が全てC^∞級となる
No.81
E, MはC^∞多様体、π: E→Mは上へのC^∞写像
(1) ∀p∈M: π⁻¹(p)はR上のn次元ベクトル空間
(2) ∀p∈M, ∃pの開近傍U: 微分同相写像φᴜ: π⁻¹(U)≅U×Rⁿが存在し、
π⁻¹(q)への制限が線型同型写像∀q∈U: φᴜ: π⁻¹(q)≅{q}×Rⁿを与える
ここでRをCに変えるとn次元複素ベクトルバンドル
直線バンドル
Eは全空間、Mは底空間、πは射影
π⁻¹(p)=E𝔭をp上のファイバーと言う
(E, π, M)でなくπまたはEだけでもベクトルバンドルと言う
一般に、開集合とは限らずMの部分多様体Nに対して局所自明性の条件を満たす微分同相写像φɴ: π⁻¹(N)≅N×RⁿをN上の自明化と言う
変換関数は2つの自明化のずれを表す
コサイクル条件αβ βγ=αγ
開被覆とコサイクル条件によりベクトルバンドルを構成出来る
ベクトルバンドル同士の写像をバンドル写像
π: E→M、π: F→N、f: M→Nに対して
f~: E→F
積バンドルと自明なバンドル
同型はベクトルバンドル全体に同値関係を定める
No.82
π◦s=idᴍとなるC^∞写像s: M→Eを切断と言う
切断sとは点pに対してその上のファイバーの点s(p)を対応させるもの
切断を使って自明化を言い換えることが出来る
切断全体に加法とスカラー倍を定義することが出来てベクトル空間になる。
接バンドルTMの切断はM上のベクトル場
No.83
No.84
こほもろじーでもやってな
No.85
No.86
No.87
No.88
No.89
君が清太なら、妹になんて説明する？
No.90
No.91
No.92
>曲がっていることをアピールしたいから
誰がアピールしたいの？ベクトル束自身が？それともそれを見つけた数学者が？
No.93
No.94
No.95
https:
No.96
No.97
超高次元世界に彼の疑似意識が宿っている世界だから
No.98
ワイルズだと答えてきた
No.99
No.100
No.101
No.102
No.103
