No.201
高木貞治 『解析概論』
レス数: 298
概要: ハードカバーの文庫もありかと
No.202
No.203
No.204
No.205
No.206
No.207
「定本」以外の３冊がそろっていた
No.208
No.209
No.210
マルチ、スレチうるせーんだよ
オメーに関係あるか
No.211
No.212
荒しマルチを下げるための
No.213
お前に関係あるわけないだろ
首吊って死んどけ
No.214
No.215
流石は学生街
No.216
No.217
で検索してみたらええ。
中学のときにカナ書きの版を古書店で買って
読んだのが最初だった。
No.218
No.219
頁数に制限もあった。
代数学も解析学も、藤原松三郎の
書籍の方が網羅的で学びやすいはず。
しかし長らくカタカナ書きであったことや、
出版社の規模や流通面から、共立出版や
岩波書店に負けてた感があり。あとは
なんといっても日本の中では最も有名な
数学者が高木貞二だったからか。
No.220
No.221
No.222
No.223
No.224
No.225
「
これに反し、 {a_n}に同じ数が無数に含まれることがなければ、 {a_n}が a に収束することは、 S が有界で a が S の唯一の集積点であることと同等である。
」
と書いてあります。
これは、有界な無限点集合には集積点が存在するという定理の直前に書いてありますが、この定理を使えば容易に証明できます。
使わずに証明できますか？
No.226
No.227
No.228
についてです。
a > 0 とし、 {x_n}を x に収束する単調増加有理数列とすると、 {a^{x_n}}という数列は単調増加数列は有界だから収束する。
この極限値は単調増加有理数列の選択に無関係であると書いています。p.23を参照せよと書いてあるので、理由はそこに書いてあるはずだと思い、見てみました。
そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n}（x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)}が収束するとき、 {x_n}を x に収束する点列、 {x'_n}を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。
ですが、このことを指数函数の場合に使うことはできないですよね?
高木貞治さんは大丈夫な人だったのでしょうか？
No.229
なぜ？
No.230
x は無理数とする。
任意の自然数 m に対して、 x_m < x'_{n_m}< x を満たす自然数 n_m が存在する。
任意の自然数 n に対して、 x'_n < x_m < x を満たす自然数 m_n が存在する。
a^{x_m}→ l
a^{x'_n}→ l'
とする。
ε を任意の正の実数とする。
l' - ε < a^{x'_n}< l' を満たす自然数 n が存在する。
x'_n < x_{m_n}である。
x_{m_n}< x'_{n_{m_n}}である。
l' - ε < a^{x'_n}< a^{x_{m_n}}< a^{x'_{n_{m_n}}< l' である。
よって、 a^{x_m}→ l' である。
No.231
指数函数の場合には、点列は単調増加という条件があるからです。
No.232
No.233
数列を使った定義は分かりやすいと思いました。
No.234
指数関数の場合には
単調増加数列の像の極限しか意味がない？
No.235
{x_n}が単調増加でない場合には、 a^{x_n}が収束することを簡単には証明できません。
>そこに書かれているのは、 x に収束する任意の点列 {x_n}（x_n ≠ x）に対し、 {f(x_n)}が収束するとき、 {x_n}を x に収束する点列、 {x'_n}を x に収束する点列とすると、
f(x_n) → l、 f(x'_n) → l' ならば、 l = l' であるということです。
{f(x_n)}が収束することを示す必要があります。
No.236
>a^{x_n}が収束することを簡単には証明できません。
{x_n}が単調増加でない場合には、
他に何も条件がなければ
a^{x_n}は収束しない。
No.237
「
指数は有理数まで拡張されたが、無理数の指数はどうだろうか。
たとえば、 a^{√2}を考えてみよう。
√2 は無限小数 1.41421… で表される。そこで、
a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, a^{1.4142}, …
を考えると、これらの指数が有理数だから、それぞれの値が定まる。
そして、それらの値はある一定の値にかぎりなく近づいていく。その値を a^{√2}と定めるのである。
このようにして、指数 p が無理数のときにも a^p が定められる。
したがって、指数はすべての実数に拡張されたことになる。そして、 p, q が実数のときも、前ページの指数法則が成り立つ。
」
この部分を厳密化したのが定本のp.26の指数函数についてですね。
No.238
No.239
点 Q を中心とする円ですが、開円板として描かれています。
閉円板として描くのが正しいですよね。
定本になる前の本でも同様の誤りがあります。
No.240
「
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0) ≦ ε。
」
なぜ、 v(P, ρ_0) ≦ ε であることが言えるのでしょうか？
その前の行で、 ρ_0/2 や ρ/2 を考えたことは v(P, ρ_0) ≦ ε を結論づけるためにどのように効いているのでしょうか？
No.241
それを ρ_0 とすれば、 ρ(P) > 0 だから、 ρ_0 > 0 で v(P, ρ_0/2) ≦ v(P, ρ/2) < ε。
すなわち PQ < ρ_0/2 なるとき |f(P) - f(Q)| ≦ v(P, ρ_0/2) < ε。
」
↑こうであったなら何も疑問はありません。
No.242
が正しいように思いますがどうでしょうか？
せっかく正しく ρ_0/2 や ρ/2 を考えたにもかかわらず、最後の不等式ではそれを使えていません。
定本の前の本でも同じように書いてありますが、これは代々訂正されないままであった誤りではないでしょうか？
No.243
No.244
誰にでもある
No.245
それを正そうとしてまたおかしなことになっているという状況だと思います。
No.246
初版はひどい誤りが多かったんでしょうね。
No.247
から、うまく整理されていない気がした。
No.248
No.249
No.250
