No.1
14: リーマン面 (913)
レス数: 82
概要: リーマン面
No.833
No.834
No.835
No.836
No.837
くもり時々晴れ
No.838
くもり時々晴れ
No.839
北海道せたな沖で
No.840
23日
No.841
No.842
No.843
何処にも送れない
No.844
気が変わった
No.845
クラインとポアンカレに行く
No.846
No.847
Gemini の回答
結論から申し上げますと、「長い直線」の直積（L×L）は擬等角構造を持ちません。
これは、位相幾何学および複素解析におけるいくつかの重要な定理を組み合わせることで、明確に証明することができます。理由は以下の通りです。
1. L×L は「第二可算公理」を満たさない
「長い直線」（Long line）L は、局所的には実数直線 R と同相な1次元の位相多様体ですが、第二可算公理を満たさず、距離化不可能であるという際立った特徴を持っています。
そのため、その直積である2次元位相多様体 L×L も、必然的に第二可算公理を満たしません。
2. 2次元における擬等角構造は「等角構造」を導く
2次元多様体が擬等角構造（推移関数が擬等角写像となるような局所座標系）を持つと仮定します。2次元の擬等角幾何学において、「可測リーマンの写像定理（Measurable Riemann Mapping Theorem）」により、擬等角構造は必ず**等角構造（複素構造）**を誘導します。
つまり、2次元多様体が擬等角構造を持つことと、それが「リーマン面」になることは同値です。
3. ラドーの定理（Radó's theorem）の壁
1925年に数学者ティボール・ラドーは、「すべてのリーマン面は第二可算公理を満たす」（したがって距離化可能かつパラコンパクトである）という強力な定理を証明しました。
結論
もし L×L が擬等角構造を持つと仮定すると、ステップ2によりそれはリーマン面となります。するとステップ3の「ラドーの定理」により、L×L は第二可算公理を満たさなければなりません。
しかし、これはステップ1（L×L は第二可算公理を満たさない）と矛盾します。したがって、背理法により、L×L には擬等角構造は存在しないことが結論づけられます。
No.848
証明はuniformization theoremを踏まえている
No.849
証明はuniformization theoremを踏まえている
Gemini の回答
非常に鋭いご指摘です。
(中略)
しかし、任意の擬等角多様体に複素構造を導入するステップにおいては、一意化定理を必要とする大域的な定理ではなく、C の開集合上における局所的（Local）なベルトラミ方程式の可解性のみを用います。これにより、循環論法を回避できます。
No.850
Gemini の回答
局所的な可解性についての正確な主張ですね。擬等角多様体に複素構造を導入する根拠となる、最も重要な解析的定理の定式化です。
(中略)
現代のリファレンス
この局所的なPDEの枠組みからのアプローチは、Astala, Iwaniec, Martin の著書 "Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Mappings in the Plane" (2009) などの第5章「The Beltrami Equation」において、一意化定理を一切使わずに純粋な局所的解析として詳細に証明されています。
No.851
No.852
No.853
No.854
ラドーの定理の背景にある、**「局所的な等角構造（複素構造）が入ると、空間全体が可算なサイズに収まらざるを得ない」**という現象ですね。これは微分幾何学と複素解析が交差する、非常に美しいトピックです。
No.855
実多様体（たとえば通常の滑らかな多様体）の大きな特徴は、**バンプ関数（隆起関数）**が作れることです。これは「ある局所的な範囲だけで値が変動し、その外側では完全にゼロになる」という都合の良い滑らかな関数です。
バンプ関数があるおかげで、実多様体では「ある部分の形をいじっても、遠く離れた別の部分には一切影響を与えない」という局所的な切り貼りが無制限に可能です。だからこそ、非可算個のパーツを際限なく繋ぎ合わせて「長い直線」のようなモンスター空間を作ることができます。
一方、等角構造（複素構造）の世界では、これが一切通用しません。
複素解析における**一致の定理（Identity theorem）により、「ある小さな開集合で一致する2つの正則関数は、空間全体で完全に一致する」という強烈な剛性（Rigidity）**が働きます。
つまり、等角構造を入れるということは、「空間の局所的な情報が大域的な情報を完全に支配する」という厳しいルールを課すことを意味します。局所的に切り離された「都合のいいゼロ」を作れないため、非可算個のチャートを勝手気ままに繋ぎ合わせようとしても、関数が破綻してしまい構成できないのです。
No.856
No.857
No.858
No.859
別の例がFatou-Bieberbach領域の列を用いても作れる。
Levi問題の一般化であるunion problemの最初の反例は
3次元以上でFornaessによるが、これは開球の列。
2次元の反例はblow-upの可算列によるもので
上田哲生とFornaessが独立に与えた。
上田の論文は京都大学の修士論文。
No.860
擬等角構造が入れば等角構造が入ると言えるか
No.861
No.862
証明は？
No.863
No.864
No.865
No.866
俺がじぇみないとやり合ったら剛性を文字通りの機械的静力学的な剛性と混同しやがった。
No.867
No.868
どうやって証明すればよいか
No.869
No.870
No.871
No.872
No.873
No.874
最後の定理が1857年の論文の結果の一般化である
1954年にアナルズに出た論文になっている
No.875
No.876
くもり時々晴れ
No.877
No.878
名づけているものが
取り扱われている
閉リーマン面のことだろうか
No.879
構築されるもののみを真理であるとした
No.880
建設的なのは良いことだ
No.881
No.882
１８５１年の学位論文
No.883
リーマンの出発点
No.884
No.885
代数関数論
聴講者は３名
No.886
シェリング
そして
デデキント
No.887
楕円を|z|<1に写す等角写像について
No.888
和書以外は見当たらないそうだ
No.889
小松が解いた
No.890
有理関数で十分
No.891
楕円を円周に ーー＞ 円周を楕円に
No.892
snがsinになっているそうだ
No.893
snではなくsinが正しいようだ
No.894
No.895
No.896
No.897
楕円の内部を円にーー＞楕円体の表面を平面上に
これはガウスの研究の続き
No.898
No.899
くもり時々晴れ
No.900
No.901
No.902
多いかもしれない
No.903
全然方向性が違ってくる
No.904
このはずだったがヒトラーせいで
系譜が途絶えてしまった
No.905
ヒトラーせい ーー＞ ヒトラーのせい
No.906
No.907
No.908
No.909
安否が気遣われている
No.910
水曜日
No.911
No.912
「代数関数のリーマン面」
代数関数は何で定まるか
それはリイマン面で定まる
No.913
ヒルベルトの答え
