同一振幅で逆向きに進行する正弦波を考える
→合成する
→tだけの関数(振動)とxだけの関数(振幅)の積で表される→重要
定常波 定在波 腹 節
固有振動以外の波は少しずつ位相の異なる三角関数の多数個の和となり、全体で事実上打ち消しあう→重要
生き残る波は共鳴する→重要
基本振動 二倍振動 三倍振動
固定端の条件から固定端で位相がπずれることが示される
気柱の共鳴も同じパターン
節…密度変化が最大(疎密が入れ替わる)
腹…密度変化が無い(平均値のまま)
例題 結果重要 4-5
干渉…重なりあって強めあったり弱めあったりすること
簡単のために振幅の減衰が無いものとする。
重ね合わせ→合成波
干渉条件(重要)
経路差による干渉条件
波長の整数倍と波長の半整数倍
波の節線は波源を焦点とする双曲線→重要
※「経路差＝一定」の点を結ぶと双曲線になる。
2つの振動数が非常に近いとき、うなり…合成音が弱い状態から強い状態を経て再び弱い状態になるのを一回のうなりという。
うなりの周期とうなりの振動数→重要
片方の振動が一回多くなる
干渉は重ね合わせを空間的に見たもの、うなりは重ね合わせを時間的に追いかけたものと言える→重要
※ここまでは近似は使っていない
2つの波の式を書く→合成する→平均振動数の音を表す部分と、振幅を表す部分に分けられる
なぜか→「2つの振動数が非常に近い」と仮定したので、振動数の差が極めて小さく、振幅項と考えてよい(ここで近似を使った(重要))。振幅が時間的にゆっくり変化していくことを示す
例題 干渉の基本問題
波の式を作る→合成する→強め合いの条件を出す 力学的な波動が終了。
今までで一番近似が多かった。 6-1
光は電磁波。
波動一般に共通した光の性質
電磁波としての特殊性(偏光)
平面波 球面波 2次元に広がった波
波数ベクトル→重要
角振動数→重要
座標系の回転…同じ点を回転した座標系で見たもの
ベクトルの回転…回転させたベクトルを同じ座標系で見る場合
θの符号が逆になる→当たり前
空間内の平面、平面内の直線…内積表示
同位相面 波面
波は波面(同位相面)に垂直に進む→重要
例題 公式の確認 6-2
障害物の裏側に回り込むこと…回折
ホイヘンスの原理
波面(同位相面)上の各点が点波源となってそこから出る球面波の重ね合わせとして伝わってゆく
単スリット
両辺に(2/a)sin(α/2)を掛ける→重要
振れ幅 振動
有限個の波源からの波の重ね合わせ→極限をとる
単スリット通過光の強度分布→重要
回折…スリットの開きが広いとき、光は直進する。
スリットが波長より狭い時、光は影の部分にも回り込む。この現象を回折という。
6-3
障害物の間隔が波長に比べて十分に大きければ光は直進し、光線という概念が適用できる。
幾何光学とは回折現象が無い範囲での光学 光線の直進性 光線の逆行性
反射の法則
屈折の法則123
※反射も屈折もAB'がポイント
n12を1に対する2の屈折率という
絶対屈折率…真空に対する1や2の屈折率
媒質と光の振動数のみで決まる→重要
臨界角 全反射 円錐内に収まる
反射と屈折は光でなくとも一般の波動で成り立つ。
音速は温度と共に大きくなる→屈折率は温度と共に減少する→重要
冬の夜には音が遠くまで伝わる。夏の昼には逆になる。 レンズの公式
近軸近似→重要
実像 虚像
焦点距離
点Aから出た光線の束は角度が小さい範囲で全てBに集まる。
例題 重要 プリズムによるレンズの公式の導出は難しい。
6-4
Aから出た全ての近軸光線はB点に集まる。A'とB'についても同様。
幾何だけではなく途中でレンズの公式を利用する→重要
実像 虚像ではbをマイナスにする 倍率
凹レンズの場合、fをマイナスにする。→焦点が反対側にあるから。
虫眼鏡 凸レンズ
眼をレンズにつけて見る場合
眼をレンズの焦点に置くとき
近軸光線のみ
明視の距離…普通の人で25cmくらい 顕微鏡 対物レンズ 接眼レンズ 倍率
ケプラー望遠鏡(屈折望遠鏡)
無限遠 像は倒立している。
※共通点…思いっきり拡大するために「ほぼ焦点」や「焦点」に像を結ぶように設計されている。
球面鏡 ここでは凹面鏡
近軸光線に限れば、Aから出た光は全てBに集まる。
半径の中点が焦点。
A'とB'に対しても成り立つ。
連続性
近似 レンズの公式 倍率
6-5
ヤングの実験 各スリット幅が十分小さければ干渉する
強め合う条件 弱め合う条件
多重スリット
Nがあまり大きくない範囲での近似
ヤングの実験と多重スリットの違い
Nが大きくなるにつれて明線がシャープになり、明線と明線の間では光の強度が減る。 回折格子…Nを十分大きくしたもの
強度分布は完全な線スペクトル
←少しずつずれた三角関数を無限個足し合わせると事実上ゼロになる
2スリットの場合は強度分布が重なり分解能が悪い。回折格子ではきれいに分離される。分光器として優れている→重要
スリット幅の影響→強度分布は角度θとともに減少する→重要
例題 簡単
6-6
屈折において光の振動は連続的につながっているから振動数は変わらない→重要
真空中の波長より短くなる
干渉の一般論
振れ幅 振動
強め合う条件 弱め合う条件
光路差 光路長 屈折率の小さい媒質から大きい媒質に入る境界面で反射する場合には位相がπずれる→重要
ここでは説明しない
固定端の反射に対応する
強め合う条件…固定端反射の回数を考慮する→重要
フレネルの複プリズム ヤングの実験と同一
ロイドの鏡 ヤングの実験と同様だが、固定端反射でπずれていることを考慮する。
マイケルソンの干渉計 途中で透明物質がある場合には経路差を光路差に置き換える。
単一点光源からの光は干渉する。二個の異なる光源からの光は干渉しない。ただ単独の光源がある時の強度の和になる。 光は有限の長さしか続かず、何波長かで途切れる。
別の原子から出た波連はもちろん、同一の原子から出た光でも、異なる波連の位相の間には何の関連性もない→重要
干渉性の光 非干渉性の光
クロスタームが消える理由→でたらめバラバラ打ち消し合い。
干渉条件の数学的導出
異なる光源からの重ね合わせの導出(干渉を示さない)
レンズの影響…単に無限遠のスクリーンを有限距離に近づけるだけで経路差には影響しない→重要
幾何学的な長さは異なるが、光路長は等しい。
レンズとはそういうように設計してあると考えてよい。
例題 重要 固定端反射を含む 6-7
レーマーの計算…初めての光速測定
フィゾーの実験…初めての地上での測定
フーコーの実験
※あとはブラッドリーの実験というのもある。
粒子説…粒子が中に引き込まれた(加速された)→これは間違い→光の波動説
ヤングからフーコーまで
現在では光速は定義値299792458m/s
光は横波
エネルギー強度 三角関数の平均値
自然光…x方向とy方向の振幅が等しく、個々の波連の位相の間に何の関連性規則性もない光のこと。
でたらめな変数の三角関数の数多くの和→足し合わせると事実上消えてしまう
進行方向に垂直などの方向の振動の強度(エネルギー)も等しい。
直線偏光→点→線分
円偏光→円周→円盤
右ネジ円偏光→ヘリシティー正
左ネジ円偏光→ヘリシティー負
偏光板
例題 面白い 光学が終わった。波動として音波と共通している部分と、電磁波としての部分。
次は「入門演習」に入りたい。「入門の原子物理」は適当に混ぜて終わらせる予定。 7-1
光が干渉・回折を示すこと、真空中に比べて物質中では光速が減少すること…光の波動論
物質が光を吸収・放出するとき、吸収・放出される光のエネルギーはhνの整数倍でなければならないとの仮説 プランク定数
光電効果とは、金属に光(可視光や紫外線)を照射した時、金属内部から電子が叩き出されるという現象。
自由電子といえども金属表面との電位差により金属内に束縛されている、自発的に外にこぼれ出ることはない。
表面での内向きの引力(金属を構成している陽イオンからのクーロン引力)に抗して電子が外に飛び出ることが出来るためには電子に十分なエネルギーを与えねばならない。光電子、熱電子
最も高い状態のエネルギー→仕事関数
蒸発に似ている
束縛電子は自由電子にするためにも仕事を加えねばならない
臨界電圧 ν0は光の強さ(量)には依らないが陰極金属の種類により異なる。 直線の傾きは陰極金属に依らず一定でプランク定数hと一致
直ちに電子が飛び出す(3*10^(-9)s以下で)
古典論(光の波動論)…振幅がある値以上ならば、振動数と無関係に電流が流れる。電子の最大運動エネルギーも振幅とともに増加するはず。
光のエネルギーは空間内で連続的に分布しているからそれが電子に集められるのに時間がかかるはず。
→実際には殆ど瞬間的に電子は飛び出す。古典論とは相容れない。
アインシュタイン
エネルギー…ε＝hνの粒子
光電効果は金属中の電子がこの「光の粒子」を1つ吸収して金属外に飛び出す現象である、と仮定する。
あくまで光子一個と電子一個の関係である。いくら光が強くとも(＝光子数が多くとも)、一個の光子のエネルギーが不十分ならば(hν＜W0)、電子は外に飛び出ない。
光が弱くとも(光子数が少なくても)、一個の光子のエネルギーが十分ならば電子は瞬時に叩き出される。 量子論(光子仮説)でいう光のエネルギーは光子一個のエネルギーを意味している。
古典論の光のエネルギーは光全体つまり光子の集合全体のエネルギーを意味している。振幅の2乗は光子数に比例している。
光の粒子性 日焼けとは皮膚の分子の化学変化による色素変化
都会では空気の塵により紫外線が散乱されて少ない。海や山では紫外線が多いから日差しが弱くても(光子数が少なくても)日焼けする。
7-2
粒子の状態…運動量とエネルギー
光はエネルギーhνの粒子→運動量は？
糸で吊るした軽い鏡…反射光の方向があちこちに揺れ動く
月面に立てた旗が太陽光ではためく。
大きくて軽い人工衛星(風船衛星)の軌道変化 数多くの光子の集合(光子ガス)
圧力 内部エネルギー箱の内面は光の完全反射面 両端が固定端の場合の定常波を形成している→重要
振動数の変化→長さの変化→体積の変化→nに依らない→重要
断熱変化→重要→これよりε＝pc→最重要
光子のエネルギー 光子の運動量
光子仮説 光の粒子性→光がエネルギーと運動量を持つ粒子のように振る舞うという事実
光子ガスの状態方程式PV=(1/3)U
例題 慣れないと面倒に感じる
「一秒間における力積＝力」→重要
例題 簡単
7-3
コンプトン効果とは電子に光(X線)を当てた時に散乱される光(X線)の波長が入射波より少し伸びる(振動数が少し減る)現象
古典論(光の波動論)では電子による光の散乱は、電子が入射波の電場の振動数と同じ振動数の光を散乱波として放射すること、波長が変わらない
量子論(光子仮説)では光子の、電子との衝突・散乱と見なすことができる。
電子を事実上自由と見なしてよい近似→重要
エネルギー保存則と運動量保存則の連立 要するに、光子と電子の弾性散乱である。→重要
小さい因子のかかった右辺→λ＝λ'の近似→重要
電子のコンプトン波長
発光による原子の速度変化は極めて小さい→平均速度の導入→重要
ドップラー効果
光源が近付く場合、観測者が近付く場合
非相対論的な計算
相対論的に扱った式
例題 原子核 γ線
運動量保存とエネルギー保存の連立
近似→難しい
ΔEは数MeV。 7-4
化学では19世紀初め、物理では19世紀末。
JJトムソン…葡萄パン トムソン模型
長岡半太郎…太陽系模型 土星模型
ガイガー マースデン
ラザフォード
トムソン模型では最大散乱角が小さすぎる。
長岡ラザフォード模型
クーロン力による散乱ではなく核反応を起こす。
長岡ラザフォード模型ではrが全く任意。
古典電磁気学では荷電粒子が加速度運動をしていれば電磁波を放射しエネルギーを失って半径が小さくなっていく。
原子の安定性と一定性が説明できない。
離散スペクトルが説明できない。
リッツの法則
リュードベリ定数
ライマン系列 バルマー系列 パッシェン系列
紫外部 可視光 赤外部
例題
トムソン模型の否定。難しい。 7-5
ボーア理論 前期量子論
過渡期の理論 内部矛盾も含む。
長岡ラザフォード模型を採用する。
仮説 ボーアの量子条件 定常状態
半径が決まる。
エネルギー準位
定常状態…特定半径と特定エネルギーの状態
仮説 ある定常状態から別の定常状態に飛び移るときにのみ、光子を一個放出ないし吸収する。
ボーアの振動数条件
量子条件と振動数条件
リッツの結合法則が見事に説明される。
エネルギー準位の実在の証明 ボーア半径基底状態 励起状態 イオンの状態 イオン化エネルギー
ガラス菅内に希薄な水素ガスを入れる。陰極から出た電子のエネルギーが陽極直前で水素をイオン化するのに十分な大きさになって、「電子＋水素イオン」によって電流が増加する。 フランク・ヘルツの実験
管内に水銀蒸気を封入する。4.9Vの整数倍で電流が激減する。
水銀の基底状態と励起状態のエネルギー差が4.9eVだと考えられる。
※発生した紫外線の波長からも確認される。
波長の短いX線
連続X線…臨界波長は加速電圧だけで決まる。陽極金属には依らない。
線スペクトルの位置は陽極金属の種類によって決まる。電圧には依らない。特性X線 固有X線
連続X線は電子の持つ電荷がその周囲に作っている電場と磁場が電子の速度の急激な減少についてゆけずにちぎれ飛んで電磁波となったもの。
制動放射
連続X線の強度分布が波長の下限を持つ→光子のエネルギーがhνで与えられることの証明
余分なエネルギーは陽極に与えられるため陽極は大変熱くなる。
特性X線…高速の電子が金属原子の内側の殻の電子を弾き飛ばす際に放射される、波長の決まった電磁波。 Z＞30で約1000倍という大きなエネルギー差になる。→波長の短い電磁波、特性X線の発生。
実際には原子核のクーロン力が、他の電子により少し覆い隠されるためにZ^2よりも少し小さい。δ≒1として、(Z-δ)^2
K系列のX線 エネルギー保存則と光子仮説により
モーズリーの法則が得られる。→実測で確認されている。
周期律表の完成 学問と技術の違いは
一方は精神の栄養になるが他方は使わなければすぐ忘れることです。
忘れれば何も無かった事になり、時間だけが浪費されたことになります。
いやその時間は金に変わったんですね。自分は残りカスになっても金があるから良いか。
それも愛、みんな愛、愛の金中花。 泳ぎ方だろうと自転車だろうと一度身に付いた技術は失われないが
知識はすぐ陳腐化する われわれ学問の徒は、技術はより上級の学問に進むための手段に過ぎません。
だから、技術は並み程度に身につけたら先に進みます。
力の平行四辺形の法則、皆さんなんで成立するか知ってますか。
学校では単に事実として公式で与えられ後は問題集をバンバンやって
使い方の訓練をしたでしょう。確かに問題を早く解けるようにはなったが
我々はそこまではやらないで適当に切り上げて、
平行四辺形の哲学的な意味を考えます。そして技術的な問題は将来の部下に任せて
我々はその先の解析力学に入ります。それから直ちに量子力学を学習します。
一応問題計算は理解の助け程度で訓練しますが、込み入った計算はその訓練で
鍛え上げた部下にやらせます。我々の仕事はその先の物理学の最先端にあるからです。 その程度じゃ技術という資格は無い
学問する技術が身に付いてなきゃ学問の真似事しか出来ん
学問する技術は技術を身に付ける技術 どんなこともその問題の原理は簡単です。だから分厚い問題集は
問題解き専門技術者に任せて、我々学問の徒は参考程度にして
本来その原理を理解できたらさらに上の問題の原理の理解に進めれば
時間の節約になります。われわれの使命は原理の発見・創造にあるからです。
機械設計技術者が職工の技能であるねじ回し（ドライバー）の訓練を受けてそれに上達しても
、機械組立は早くなってもそれで機械設計の腕が上がるわけではないのです。 >>178
,180の発言に違和感を感じるのは
発見よりも理解に重点を置いてるからなのかな 日本人は根性努力自己責任という言葉が大好きです。
大発明王エジソンは天才は１％のインスピレーションと９９％の
努力の結果だと言いました。１％のインスピレーションが得られたら
それを実現する９９％の努力は、実は能力の無い人には大変な努力に
思えるでしょう。しかしわしら学問にために生まれた者はにとって
それは努力ではないのです。楽しい時間なのです。それはあらかじめ
もう１％のインスピレーションがあるからです。しかし何も無い者にとって
ただ努力することは苦痛でしょう。根性努力が必要です。まさかパチンコを
一日中努力してやってるとは言わないでしょう。楽しいことは努力ではないのです。
楽しくない今の学校教育は間違えてるのです。すくなくともわしら学問の徒にとっては。 別に学校教育は間違えてないだろ常識だし
実行には問題があるが 皆さんは行列・行列式を学んだ時、なんでそんな変な計算が必要か
教えられましたか。わしの時はただ「こうするんだ。」と言って後は
問題練習でした。同じクラスにいた女の子は何よあれ、ただ計算するだけ？
と言って怒っていました。でも計算兵隊のあの今は教授、それでお飯頂けるから
それでいいのです。 教えられるまでもなく明らかな事を教えられたかどうかなんて憶えてるはずもない 自分の子をうっぷん晴らしに殴り殺した父親の事がニュースになってる。
それを思うとルソーは偉い。真の学問のために仕事もままならなかったが、
そのため自分の子を育てられないと分かって孤児院の門に置いた。その後
ルソーは教育書「エミール」を出版したが、自分の子を孤児院に捨てる親が
何を言うか！と非難を受けたそうであるが。生活苦から自分の子を殴り殺すより
断然良心的だ。 7-6
ボーア理論の鍵は量子条件
古典物理学は連続量の世界
例外は定常波
波動である光が粒子の性質も持つならば、逆に粒子である電子そして他の全ての素粒子も波動の性質を持つのではないか。
電子波またはドブロイ波
原子の中の電子は軌道上にこの電子波の定常波を作っていると仮定する。
生き残らない波→一周するごとに少しずつ位相がずれていくので結局打ち消し合って消えてしまうと考える。
ボーアの量子条件
ドブロイの仮説は電子線が干渉するか否かで正否が決定される。
X線の波長は結晶の格子間隔と同程度だから回折格子のように使える。
全ての波長に対して強め合うm＝0の場合だけを考える。
ブラッグの条件
照角←入射角
電子波も全く同じ条件で干渉することが観測された→波動力学へと発展していく。
電子以外の全ての素粒子についても波動の性質を持つことが知られている。
デヴィスンとジャーマー
電子とは観測の仕方で粒子的にも波動的にも振る舞う「あるもの」としか言い様が無い。 例題 電子波が定常波を作る条件→量子条件
例題 トムソンの原子模型 位置エネルギーの基準を原点にとる。
7-7
アインシュタインの関係
エネルギーと熱と質量の三個の独立な保存則が、熱を含むエネルギーの保存則と質量保存則の二個にまとめられた。
↓
熱とエネルギー同様、質量とエネルギーも単一の保存則に包摂される。
特殊相対論
相対性原理と光速不変の原理
の2つの前提
アインシュタインの関係の導き方
1 他の慣性系で見る
2 重心不動の条件を使う
静止質量
相対論的なエネルギーの表現
静止エネルギー＋運動エネルギー
非相対論力学つまりニュートン力学のエネルギー
原子核や素粒子の反応では、反応の前後で質量が変化する。
例題 運動量保存 7-8
原子核は核力による核子の結合状態
質量数と電荷は厳密に保存される。
核力はクーロン力の百倍も強い引力
核力は到達距離が短く、しかも飽和性を持つ
湯川秀樹の中間子論
Z＞約100でクーロン斥力の全効果＞核力の引力となり結合不可能となる。
原子核の結合エネルギーBとは、安定な原子核をバラバラの核子の集合に分解するために加えなければならない最小のエネルギー。
Bに相当する質量→質量欠損
質量数が50〜60くらいの核が最も安定
核子一個当たりの結合エネルギーはほぼ一定。
原子の場合でも原子核と電子が結合しているから、原子の質量は原子核と電子の質量の和より小さい。→しかしそれは事実上無視できる
イオン化エネルギーを質量に直せば無視できることが分かる。→原子核の場合、B/Aは無視できない。
放射性物質は不安定な原子核を含む物質で、放射線を出す。
α線はHeの原子核、β線は電子、γ線は波長の短い光子(電磁波)
α崩壊、β崩壊、γ崩壊 運動量保存則
中性子は陽子より僅かに質量が大きく、電子と中性微子が生まれ得る。
結合エネルギーの差によってβ＋崩壊が生じることも有り得る。
個数に比例し、時間にも比例する。
崩壊定数→原子核の壊れ易さを表す
半減期 放射線の強さ
放射性元素の4つの系列
炭素14は半減期5570年
炭酸同化作用
質量数と原子番号(電荷)は厳密に保存する。
核反応でのエネルギー保存則は、静止エネルギーを含めて考えねばならない。
反応熱をBで表すと質量で表した式と逆になる。
発熱反応と吸熱反応
クーロン障壁
吸熱反応の閾値
重心系と実験室系
反応によって生じた核は共に静止可能。
重心運動のエネルギーは不変
相対運動のエネルギーは消滅し得る 質量数50〜60くらいの中くらいの核の結合エネルギーが最も大きい
核融合反応 水素爆弾 分裂エネルギー 炭素サイクル(太陽内) 核分裂 連鎖反応 原子炉 原子爆弾
原子炉は質量をエネルギーに変えているのではなく、結合エネルギー(質量欠損)の僅かな差をエネルギーに変えている。
質量数(核子数)自体は保存する。放射性原子核 危険な放射性廃棄物
例題 反応 