>>49
>擬凸集合（英: pseudoconvex set）は n 次元複素空間 Cn 内のある特殊なタイプの開集合である。
擬凸集合（英: pseudoconvex set）は n 次元複素空間 Cn 内のある特殊なタイプの開集合をモデルとして導入された、凸性に似た幾何学的条件で定義される複素多様体上の領域である。 年末に聴いたのは
Rossi sphere上のPaneiz作用素の
スペクトルの計算結果 >>51
>擬凸集合（英: pseudoconvex set）は n 次元複素空間 Cn 内のある特殊なタイプの開集合をモデルとして導入された、凸性に似た幾何学的条件で定義される複素多様体上の領域である。
なるほど
こういうときは、en.wikipediaを見るのが定石でして
なるほど、”Every (geometrically) convex set is pseudoconvex.”
C2 (twice continuously differentiable) boundary
Now, G is pseudoconvex iff for every
p∈∂G and w in the complex tangent space at p, that is,
∇ρ(p)w= Σi=1〜n ∂ρ(p)/∂zi wi = 0, we have
琶,j=1〜n ∂2 ρ(p)/∂zj∂¯zj wiw¯j ≧ 0 .
The definition above is analogous to definitions of convexity in Real Analysis.
か・・・
(参考)
en.wikipedia.org/wiki/Pseudoconvexity
Pseudoconvexity
In mathematics, more precisely in the theory of functions of several complex variables, a pseudoconvex set is a special type of open set in the n-dimensional complex space Cn. Pseudoconvex sets are important, as they allow for classification of domains of holomorphy.
Let
G⊂Cn be a domain, that is, an open connected subset. One says that
G is pseudoconvex (or Hartogs pseudoconvex) if there exists a continuous plurisubharmonic function
φ on
G such that the set
{z∈G∣φ(z)<x}is a relatively compact subset of
G for all real numbers x.
In other words, a domain is pseudoconvex if
G has a continuous plurisubharmonic exhaustion function. Every (geometrically) convex set is pseudoconvex.
However, there are pseudoconvex domains which are not geometrically convex.
When G has a C2 (twice continuously differentiable) boundary, this notion is the same as Levi pseudoconvexity, which is easier to work with.
More specifically, with a C2 boundary, it can be shown that
G has a defining function, i.e., that there exists
ρ:Cn→R which is C2 so that
G={ρ<0}, and ∂G={ρ=0}.
Now, G is pseudoconvex iff for every
p∈∂G and w in the complex tangent space at p, that is,
∇ρ(p)w= Σi=1〜n ∂ρ(p)/∂zi wi = 0, we have
琶,j=1〜n ∂2 ρ(p)/∂zj∂¯zj wiw¯j ≧ 0 .
The definition above is analogous to definitions of convexity in Real Analysis.
If G does not have a C2 boundary, the following approximation result can be useful.
Proposition 1
略す >>53
文字化け訂正
琶,j=1〜n ∂2 ρ(p)/∂zj∂¯zj wiw¯j ≧ 0 .
↓
Σ i=1〜n ,j=1〜n ∂2 ρ(p)/∂zj∂¯zj wiw¯j ≧ 0 .
まあ、原文サイトを見る方がいいですが （＾＾ >>56
>擬凸が面白い理由はこの50年で変化したように思う
これは御大か
午後の巡回ご苦労さまです
・擬凸が面白い というか重要なことは、不変だが
・その理由が、この50年変化したと？
Q1：どのように
Q2：その原因は？
Q1とQ2は、おそらく関連していると思うが A1:特殊な擬凸領域の詳しい幾何構造に関心がもたれるようになった
A2:FeffermanによるCaratheodoryの定理の高次元化やそれに関連したDiederich-Fornaessの一連の研究に触発された多くの研究の結果、やってみると意外に面白い発見があることがわかった。
現在の主要な未解決問題の一つは
有界等質領域のBergman計量に関する中間次L^2コホモロジーの
無限次元性 >>58
夜の巡回ご苦労さまです
1）未解決問題 ”有界等質領域のBergman計量に関する中間次L^2コホモロジーの無限次元性”は、難しそうでパス ；ｐ）
2）Carathéodoryは、下記か（後述）
3）検索：FeffermanによるCaratheodory 3件のみ見繕い貼り付け
（ちゃんと読めてないが 貼っておきます ；ｐ）
解析接続の問題に現れる解析と幾何（御大）
九大数理学研究院
www2.math.kyushu-u.ac.jp › ~joe › ohsawa
PDF
2019/07/09 — これらの仕事によって岡理論が指し示したものが一層明確になった。Bergman 核の挙動の解析は. Fefferman[Ff-1] により Carathéodory の定理 (定理 1.2) ...
66 ページ
漸近的双曲空間における幾何解析∗ （注：こいつは、理論物理系ですね）
大阪大学 理学研究科 (数学専攻)
http://www4.math.sci.osaka-u.ac.jp
› docs › lecnotes
PDF
2020/04/12 — 補題 1.19 (Carathéodory の定理). A を RN の部分集合とする ... とあらわすこともできる（Fefferman [18] による複素 Monge–Ampère 方程式の表示）．
75 ページ
解析接続の解析と幾何（御大）
北海道大学
www.math.sci.hokudai.ac.jp › ohsawa-26
PDF
Fefferman[Ff] による Carathéodory の定理の高次元化へとつながった。 分岐 Riemann 領域に関しては事情はより複雑で、擬凸性だけでは正則凸性が. 特徴づけられない ...
13 ページ
つづく つづき
4）検索：Diederich-Fornaess 2件のみ見繕い貼り付け
ADACHI Masanori (足立真訓) — Articles
Graduate School of Mathematics, Nagoya University
www.math.nagoya-u.ac.jp › articles
Levi平坦面の囲む領域におけるDiederich–Fornaess指数の局所的な表示公式 [PDF, ja] ... A summary of [1] with some comments about the Diederich–Fornaess exponent.
Diederich-Fornaess and Steinness indices for abstract CR ...
arXiv
arxiv.org › math
M Adachi 著 · 2020 · 被引用数: 7 — We propose the concept of Diederich--Fornæss and Steinness indices on compact pseudoconvex CR manifolds of hypersurface type in terms of the D'Angelo 1-form.
5）
（参考）
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%A9%E3%83%86%E3%82%AA%E3%83%89%E3%83%AA%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86_(%E7%AD%89%E8%A7%92%E5%86%99%E5%83%8F)
複素解析学において、1913 年にコンスタンティン・カラテオドリ[1]によって証明されたカラテオドリの定理 (Carathéodory's theorem) は、U が複素平面 C の単連結な開部分集合であってその境界がジョルダン曲線であれば（そのような領域をジョルダン領域という）、U から単位（開）円板 D へのリーマン写像（すなわち双正則写像）
f: U → D
は境界に連続に拡張し、Γ から単位円 S1 への同相写像
F: Γ → S1
が与えられるという定理である。
言い換えると、この定理が述べているのは、ジョルダン領域 U に対し、U の閉包から単位閉円板 cl(D) への同相写像
F: cl(U) → cl(D)
であってその内部への制限がリーマン写像であるようなものが存在するということである。
カラテオドリの定理の別の標準的な定式化は、ジョルダン曲線 Γ1 と Γ2 に囲まれた単連結開集合 U と V の任意の対に対して、等角写像
f: U → V
は同相写像
F: cl(U) → cl(V)
に拡張し、その Γ1 への制限は Γ2 への同相写像になる。
この主張は最初の主張から一方のリーマン写像の逆をもう一方のリーマン写像と合成することによって得られる。
より一般的に述べると以下のようになる。
g: D → U
をリーマン写像の逆写像とする、ただし D ⊂ C は単位円板で、U ⊂ C は単連結領域。すると g が連続に
G: cl(D) → cl(U)
に拡張することと、U の境界が局所連結であることが同値である。この結果は最初 Marie Torhorst によって 1918 年の学位論文[2] において、ハンス・ハーンの指導の下、カラテオドリの prime ends（英語版） の理論を用いて、述べられ証明された。
つづく つづき
文脈
直感的には、カラテオドリの定理は、複素平面 C において一般の単連結開集合と比べてジョルダン曲線に囲まれたものはとりわけ well-behaved（英語版） であると言っている。
カラテオドリの定理は複素解析の古典的な部分である等角写像の境界の振る舞いの研究の基本的な結果である。一般には、開集合 U から単位円板 D へのリーマン写像が境界に連続に拡張するかどうかを決定すること、そして、ある点でそれができない様子や理由を決定することは、非常に難しい。
そのような拡張が存在するためにジョルダン曲線の境界を持つことは十分であるが、決して必要ではない。例えば、上半平面 H から、C から非負の実数を除いた開集合 G への写像
f(z) = z2
は正則かつ等角（双正則）であり、実数直線 R から非負の実軸 R+ への連続写像に拡張する。しかしながら、集合 G の境界はジョルダン曲線ではない。
en.wikipedia.org/wiki/Carath%C3%A9odory%27s_theorem_(conformal_mapping)
Carathéodory's theorem (conformal mapping)
Proofs of Carathéodory's theorem
略す
Continuous extension and the Carathéodory-Torhorst theorem
略す
(引用終り)
以上 吉田洋一の「函数論」に
難しい証明が載っている。
ポアソンの公式の前の章。 >>59
訂正
漸近的双曲空間における幾何解析∗ （注：こいつは、理論物理系ですね）
↓
漸近的双曲空間における幾何解析∗ （注：こいつは、物理数学系ですね）
あと、”補題 1.19 (Carathéodory の定理)”は、全く別物（名前のみ Carathéodory ）
また、Fefferman で 目次 ”第5 章AH-Einstein 方程式の漸近的近似解（Fefferman–Graham 展開）P103”は、未執筆
いまは、P71までしかない （＾＾
参考文献では、下記ですが
[16] C. Fefferman and C. R. Graham, Conformal invariants, Astérisque Numero Hors Serie (1985), 95116, The mathematical
heritage of Élie Cartan (Lyon, 1984).
[17] , The ambient metric, Annals of Mathematics Studies vol. 178, Princeton University Press, Princeton, NJ,
2012.
[18] C. L. Fefferman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann. of
Math. (2) 103 (1976), no. 2, 395416.
>>62
>吉田洋一の「函数論」に
>難しい証明が載っている。
"吉田洋一の「函数論」"は、背表紙だけ見た記憶があります
昔、定番だったかも
”Proofs of Carathéodory's theorem”
>>61
の話ですね
>>58
>A1:特殊な擬凸領域の詳しい幾何構造に関心がもたれるようになった
>A2:FeffermanによるCaratheodoryの定理の高次元化やそれに関連したDiederich-Fornaessの一連の研究に触発された多くの研究の結果、やってみると意外に面白い発見があることがわかった。
何年か前に、加藤文元さんのガロア理論 （下記）の立ち読みだったと思うが （＾＾
『数学の対象を広げすぎると、浅いことしか言えない
数学の対象を適度に狭めると、深い定理が得られる』
みたく書いてあって、なるほどと思ったことがあります
（例えば、楕円曲線）
一般の擬凸で言えることは終わって
擬凸で”楕円曲線”に相当するような、面白い対象で 深い定理が出てくると面白そうですね
(参考)
アマゾン
ガロア理論12講 概念と直観でとらえる現代数学入門 単行本 – 2022/7/21
加藤 文元 (著) KADOKAWA
上位レビュー
新倉
5つ星のうち5.0 スラスラ読める
2024年4月20日に日本でレビュー済み
他の代数学の教科書とくらべて、わかりやすさを優先して証明を省略したり具体例を豊富にしたりする工夫があり初学者にはわかりやすい。
他の教科書を読み進めるための助けにもなると思います。 >>60
補足
ADACHI Masanori (足立真訓)
M Adachi
は
旧帝N大 某OTK 研究室でDR論文を書いた人
(参考)
https://researchmap.jp/MasanoriAdachi
足立 真訓
アダチ マサノリ (Masanori Adachi)
基本情報
所属静岡大学 理学部 数学科 講師
学位
博士（数理学）(2013年3月 名古屋大学) 複素関数論の教科書も
留数解析の実例は簡単なものだけにして
(どうせこんな計算はAIに任せられるのだから)
リーマンの写像定理について
証明だけでなく
楕円の内部を円板に等角写像する関数を
書くなどして
読者の興味をそそるようにすればよかろう >一般の擬凸で言えることは終わって
一般の擬凸では何も言えない 研究集会で
秋の叙勲を報告した人がいた。
母校から竜舌蘭が届いたそうだ。 
