定理:
P: 命題
このとき、¬¬¬P ⇒ ¬P
証明:
¬¬¬Pを仮定する。 (H1)
¬Pを示す:
もしPだったと仮定する。 (H2)
補題: このとき、¬¬P (L)
証明:
もし¬Pだったと仮定する。 (H3)
(H3) (H2)より矛盾。□
(H1) (L)より矛盾。□
定理の結論で示すべき¬Pを、(H3)で仮定している。
循環論法では？ ¬Pを示そうとしているのに、¬Pを仮定すると矛盾ってことは示せてないじゃん P ⇒ ¬¬P
Pを仮定する。(H1)
¬¬Pを示す:
¬Pと仮定する。(H2)
(H2) (H1)より矛盾。□ 循環論法に見えるけど合ってる。そんな回りくどい
やり方をする必要はないが、正しいか間違いかで言えば正しい。
¬¬¬Pの場合[
.. Pの場合と¬Pの場合に分岐する。
.. Pの場合[ このケースは起きないことを示す ]
.. ¬Pの場合[ 上の場合が起きないので、このケースだけ生き残る ]
]
このように表現してみれば、多少は分かりやすい。具体的に埋めると次のようになる。 ¬¬¬Pの場合[ (H1)
.. Pの場合と¬Pの場合に分岐する。
.. Pの場合[ (H2)
.... ¬Pの場合と¬¬Pの場合に分岐する。
.... ¬Pの場合[ (H3) このケースでは、H2,H3により矛盾。このケースは起きない。]
.... ¬¬Pの場合[ (L) このケースでは、H1,Lにより矛盾。このケースは起きない。]
.... いずれの場合も起きないので、このケースは起きない。
.. ]
.. ¬Pの場合[ 上の場合が起きないので、このケースだけ生き残る ]
]
よって、¬¬¬P ⇒ ¬P である。 いまいち見づらいので、
プログラミング風にして文字数を削減。
if(¬¬¬P){(H1)
. Pと¬Pで場合分け。
.
. if(P){(H2)
. ¬Pと¬¬Pで場合分け
.
. if(¬P){
. H1,H2により矛盾。
. }
. if(¬¬P){(L)
. H1,Lにより矛盾。
. }
.
. どちらも矛盾なので、このケースは矛盾。
. }
.
. if(¬P){
. このケースだけ生存。
. }
.
}
よって、¬¬¬P ⇒ ¬P である。 >>6
今度は小さく表示されてしまった。
なんで5chは余計なことするんだろう。 ¬¬¬Pの場合[ (H1)
. Pと¬Pで場合分け
.
. Pの場合[ (H2)
. ¬Pと¬¬Pで場合分け
.
. ¬Pの場合[ (H3) この場合はH2,H3により矛盾 ]
. ¬¬Pの場合[ (L) この場合はH1,Lにより矛盾 ]
.
. どちらも矛盾なので、このケースは矛盾
. ]
.
. ¬Pの場合[
. このケースだけ生存
. ]
.
]
よって、¬¬¬P ⇒ ¬P である。 >>4-6
>>10
なに勝手に古典論理持ちこんでんだ 因数分解なら
P:(x^2-1)
¬P:(x+1)(x-1)
¬¬P:(x^2-1)
よって
展開した式と因数分解した式が利用法が違う
だからなんだな話、これなんだ？ >>4
直観主義論理では、P∨¬Pは使えない
>>10
直観主義論理では二重否定の除去はできない >>13
問題となってるのは、
>>1
が循環論法か否かということ。
古典論理の場合に
>>4-6
を見てみると、
循環論法ではなく正しい証明になってることが分かる。
場合分けによる表示のおかげで、循環論法に見えていた部分が
単なる勘違いだったことが明白で、
実際は循環論法になっておらず、正しい。
そして、>4-6を背理法の形に書き直すのは容易で、
その結果が>1の書き方になる。
つまり、>1の書き方は少なくとも古典論理では正しく、循環論法ではない。
では、直観主義論理だとどうなるのか？
もちろん、その場合も>1の書き方は正しく、循環論法ではない。 ¬¬¬Pを仮定[ (H1)
.
. Pを仮定[ (H2)
.
. ¬Pを仮定[ (H3)
. この場合はH2,H3により矛盾
. ]
. ゆえに¬¬Pが成立 (L)
. すると、H1,Lにより矛盾
. ]
. ゆえに¬Pが成立
]
よって、¬¬¬P ⇒ ¬P である。 >>15
また小さく表示されてるのはご愛敬。
>>4-6
を背理法の形に書き直したのが
>>15
で、これは
>>1
と同じ。
つまり、>1は循環論法ではなく、正しい。
示すべき¬Pを(H3)で仮定してるのが循環論法に見えてしまうが、
これは単なる勘違いである。仮定(H3)は
Pを仮定[ (H2) …… ]
という(H2)の内部における仮定なので、循環してない。
このことがより如実に分かるのが
>>4-6
の書き方っていうだけ。
もちろん、>4-6の書き方は古典論理でしか通用しないが、
「循環してるか否か」という今回の話題に限っては、
古典論理か直観主義論理かは本質的ではない。 そもそも¬¬¬P⇒¬Pが直観の命題論理でも成立することの証明なん？
だとしたら P と ¬P に場合分けするのも無理じゃないの？ P∨¬Pとか¬¬P=Pが使えないだけで、「Pを仮定して矛盾が導けたら¬Pを結論してよい」は、直観主義論理でも同じ そう、だから
P を仮定
¬P⇒¬P
⇒¬P∨¬¬P
だから直観論理でも⇒¬P∨¬¬P
は使える。なので直観主義で場合分けするなら
¬Pと¬¬Pに場合分けする証明ならわかるけど
Pと¬¬Pに場合分けするならそれは古典論理でしかない。
しかしそもそも古典論理なら¬¬¬P⇒¬Pの形に制限する意味がない
後付けの解説文がおかしい >>20
＞Pと¬¬Pに場合分けするならそれは古典論理でしかない。
>>4-6
では、そんな場合分けをしていない。
そもそも
>>1
は、背理法で書かれた文章で循環論法だと
勘違いしているのであって、そこで同じく背理法で書かれた
>>15
だけ持ってきてもしょうがない。
場合分けの書き方>4-6を採用することで、
勘違いの是正を優先したしたってだけ。
そこで古典論理だの直観主義論理だのを優先させるのは、
>1の勘違いを解消するにあたって本末転倒。
＞しかしそもそも古典論理なら¬¬¬P⇒¬Pの形に制限する意味がない
意味がなくても間違ってるわけではない。 (証明の書き方その1)
Aと¬Aで場合分け
Aの場合[ 矛盾 ]
¬Aの場合[ Bが成立 ]
(証明の書き方その2)
Aを仮定[ 矛盾 ]
よって¬Aが成立
するとBが成立
(その1)と(その2)の書き方は古典論理だと等価だが、
直観主義論理だと(2)の書き方に制限されるってだけ。
ここで大切なのは、Aと¬Aで場合分けしたときに、
「Aのケースで矛盾が起きていて、
¬Aのケースだけが生き残って先に進む」ということ。
この場合には、場合分けで表現した(1)と、
背理法で表現した(2)は実質的に同じもので、
古典論理だの直観主義論理だのを気にする必要がない。 これが逆で、「¬Aのケースで矛盾が起きていて
Aのケースだけが生き残って先に進む」という流れだと、
背理法で表現したところで「¬Aが矛盾したのでAの方が成り立つ」
と言っていることになり、しかし直観主義論理では
「¬Aが矛盾したので¬¬Aが成り立つ」としか言えないから、
(1),(2)のどちらも使えなくなる。つまり、
(証明の書き方その3)
Aと¬Aで場合分け
¬Aの場合[ 矛盾 ]
Aの場合[ Bが成立 ]
(証明の書き方その4)
¬Aを仮定[ 矛盾 ]
よってAが成立
するとBが成立
この(3),(4)の場合なら、古典論理だと どっちを使ってもいいが、
直観主義論理では どちらも使えない。
そして、
>>4-6
の場合、(3),(4)に該当するケースは出現しておらず、
(1),(2)に該当するケースだけで済んでいるので、
古典論理か直観主義論理かを気にする必要がない。 結局、「場合分け」という言葉に過剰反応して、
直観主義論理がどうこうと難癖つけている人がいるだけ。
>>24
の(3),(4)に該当していたら正当性があったものの、
実際には
>>23
の(1),(2)しか出てこないシチュエーションだから、
まさしく難癖にすぎず、言ってることに正当性がない。
何と言っても、彼らの難癖は
「
>>1
の勘違いを是正するのに何の役にも立ってない」
これが致命的。 πと¬p で場合分け
と書いてあったら数理論理学勉強した事ある人間は全員反応する
「証明の中では実際にはしようされてない」
なんて言い訳は通用しない >>26
そのような主張は
「
>>1
の勘違いを是正するのに何の役にも立ってない」
これが致命的。 >>1
が循環論法だと勘違いしてしまうのは、
背理法が入れ子になって証明がぐちゃぐちゃだから。
ではどうすればいいのか？
背理法をやめて場合分けで書き直せばいい(
>>4-6
)。
すると、「背理法の入れ子」が「場合分けの入れ子」に
書き直されるので、どこで勘違いしていたのか整理しやすくなる。
そうやって思考を整理してから、背理法の入れ子に戻ればいい。 このプロセスにおいて、「直観主義論理だから場合分けが使えない」
とか言い出すのはナンセンスで、そんなこと言っても
「
>>1
の勘違いを是正するのに何の役にも立ってない」
これが致命的。いつまでも勘違いの泥沼から抜け出せない。
もし場合分けの途中で
>>24
の状況が起きているなら、
直観主義論理に戻れなくなるが、
実際には
>>23
だけで済んでいるので、直観主義論理に戻れる。
つまり、このプロセスで実質的な問題は起きてない。
それでも直観主義論理がどうこうなんて、難癖以外の何者でもない。 彼らには これが言い訳に聞こえるようだが、
実際に言い訳をしているのは彼らの方である。
>>26
なんて言い訳の最たるもの。要するに彼らは
「しょうがないじゃん。直観主義論理で場合分けの表現が出てきたら
誰でも反応するじゃん。まさか場合分けが実質的にセーフになる
ケースがあるなんて思わないじゃん。オレ悪くないもん」
と、>26はそのような言い訳を表明しているのである。
しかも、そのような言い分は
「
>>1
の勘違いを是正するのに何の役にも立ってない」
これが致命的。 Aの証明がPor¬Pとし
A+1の証明が
とかどうなるん https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1769871858" target="_blank" rel="noopener">https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1769871858
なぜ対偶が元の命題と一致するのですか？
3 poem 226/02/01(日) 13:47:48.69
虚数軸や外積を含まないからです
4 poem 226/02/01(日) 13:49:39.75
文章って対偶とると矛盾するのって、軸数問題な説が、巨大粒子レベルに実在してる説
5poem 226/02/01(日) 13:53:18.78
逆説すると
対偶は一軸である証明すれば
直接せずに完了する説
但し一軸の対偶が真になる証明自体は省いて 逆走用
https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1769871849" target="_blank" rel="noopener">https://itest.5ch.net/rio2016/test/read.cgi/math/1769871849 こんな、素人の戯言に過ぎないことを、なぜ真面目に考えられるのか。 0008 poem 2026/02/02(月) 16:45:04.32
連立方程式｢厳密な連立方程式の理屈は鶴亀算で学んでください｣ 
