12
固有方程式はDet(A-tI)=0
(t-4)^2=0、t=4。
Rank(A-4I)=1。
固有値4に対する固有空間の次数は2-Rank(A-4I)=2-1=1。ジョルダン細胞の個数は1。AP=PJ。
J=4104. P=31-30
ジョルダン標準形。
変換行列。
11
固有値λに対する固有空間Vの次元はdimV=7-Rank(A-λI)=7-4=3。
ジョルダン細胞の個数はこれに一致するので3個である。最小多項式はf(t)=(t-λ)^3になるので標数は3である。
j次のジョルダン細胞の個数をljとすると
lj=Rank(A-λI)^(j+1)-2Rank(A-λI)^j+Rank(A-λI)^(j-1)より
l1=Rank(A-tI)^(2-2Rank(A-λI)^1+Rank(A-λI)^0=2-8+7=1
l2=Rank(A-λI)^3-2Rank(A-λI)^2+Rank(A-λI)^2=0-4+4=0
l3=Rank(A-λI)^4-2Rank(A-λI)^3+Rank(A-λI)^2=0-0+2=2(A-λI)^0=I。
λ
+
λ10
0λ1
00λ
+
λ10
0λ1
00λ 13
Det(A-λI)=0より、(t+1)^3=0、t=-1。
Rank(A+I)=1、Rank(A+I)^2=0
固有値-1に対する固有空間の次数は3-1=2。これはジョルダン細胞の個数である。標数は2で、これは最大のジョルダン細胞の次数である。
よってジョルダン標準形は
-110
0-10
00-1
ジョルダン鎖。ジョルダン基。
101
211
320
解を持つように、かつ線形独立なベクトルを選ぶ。 固有値は2, -3
(P^(-1)AP)^n=(D+N)^n
P^(-1)A^nP=D^n+nDN^(n-1)
固有値は3。
(P^(-1)AP)^n=(3I+N)^n
exp(3I)=I+3I+9/2I+=e^3I
expN=I+N+1/2N^2=M
expA=exp(3I+N)=exp(3I)expN
=e^3I×M=e^3M。
x(n)=A^n(x0)
連立差分方程式。
連立微分方程式も同様。
同時対角化
AB=BA。可換。同じ変換行列Pで同時に対角化出来る。和A+B、積ABもPによって同時に対角化出来る。
A、Bは正則、Ap=apとする。Bp=crとすると、
ABp=Acr。
BAp=Bap=acr。c≠0より
r=pとなる。AとBは固有ベクトルが一致する。固有値は必ずしも一致しない。 1 HがGの極大正規部分群てはないとする。G▷K▷HなるGの正規部分群Kが存在する。従ってG/H▷K/H▷H/HとなりG/Hは単純群ではない。逆も明らか。 2 |G/H|=|G : H|=l 素数。
G/Hは単純群。HはGの極大正規部分群。
3 A4▷D2▷AであるがA4▷Aではない。
4 S4▷A4▷D▷A▷e
組成列ではない
C▷R▷Q▷Z▷2Z▷0 加法群
組成列ではない
5 Gの正規部分群の中でGと異なる位数最大なものG1が存在する。▷e。最大正規部分群は唯一とは限らない。
正規鎖Z▷2Z▷4Z▷8Z。組成列を持たない。
6 C12は3個の組成列を持つ。
7 Q4は3個の組成列を持つ。
8 ジョルダンヘルダーの定理
シュライアーの細分定理
第2同型定理。G/H1=K1/D1、
G/K1=H1/DなのでDは極大正規部分群。
9 C6▷A▷e、C6▷B▷e
C6/A=B/e、A/e=C6/B
C12▷B▷e、C12▷C▷D▷e
C12/A=C/D、A/B=D/e
B/e=C12/C
10 巡回部分群。極大正規部分群。唯一の組成列を持つ。 11 可解列。細分。部分群。可換。第3同型定理。この操作を繰り返す。
12 剰余群列。素数位数。部分群。正規部分群。第2同型定理。組成列。逆は明らか。可解群。
13 共通部分を作る。
14 S4▷A4▷D2▷e
元の正規鎖は可解列。
15 A5は位数最小の非可解群である。アーペルの定理。単純群。非可換。非可解列。 1 G=ΠHiレマク分解。可換。分解の一意性。
2 可換律と結合律が成り立つ。一意的な分解。直積。
3 分解。2通りに表されると仮定する。
4 直積因子が2個の場合。第2同型定理。
5 異なる極大正規部分群。G=H×K。
6 直既約分解
C4 直既約。D2 A×B。S6直既約。
7 外部直積。 8 |G1×G2|=|G1|×|G2|
同型写像。
9 D2=C2×C2。C6=C2×C3。
明らか。
10 D2k=C2×Ck。
正規部分群。
11 C8、C4×C2、C2×C2×C2は互いに同型ではない。
C8は位数8の元を持つので他と同型ではない。同様に位数4の元を持つものと持たないものは同型ではない。全部で5個の型がある。
12 C9、C3×C3。
可換群。巡回部分群。極大正規部分群。
13 1次元輪環群。C*/R+=T。
C*=R+×T。
準同型写像の核はR+。準同型定理。C*は可換群。 1 環Rは分配律を満たす。反元-a。零元0。加法群。
2 零環{0}。a=0と仮定する。
3 単位的環。正則性。
4 m>0の時、並べて示す。
5 零因子を持たない⇔簡約律が成り立つ。
6 整域。Fを体とする。可換な単位的環。逆元。
7 ウェダーバーンの定理。有限体。無限体。剰余体、
8 有理整数環Z。ガウス席数環Z(i)。可換な単位的環。整域である。正則元は±1。±1、±i。 9 数体 有理数体Q、実数体R、複素数体C。無限体。既約分数。
10 ガウスの数体。
Q(i)={a+bi}、a、b∈Q、i=√-1。
四則演算に関して閉じている事を示す。
11 四元数。H={a+bi+cj+dk}、a、b、c、d∈R、i^2=j^2=k^2=ijk=-1。
四元数体。斜体。多元体はR、C、Hに限る。0での除法以外の四則演算が閉じていることを確認する。
12 n次全行列環。GL(n, F)。行列の演算の定義より明らか。
13 冪等。単位的環。ブール環。冪等律。Rは可換環である。2a=0が常に成り立つ。
14 対称差。零元と単位元を持つ可換環である。Rはブール環である。Rの零因子となり、整域にはならない。 1 AはRの部分環。a、b∈A⇒a-b、ab∈A。
2 aZはZの部分環。
3 単位元を持つこと。
4 整域。
5 部分環。部分体。 6 a-b∈A、ab∈A、
a-b∈B、ab∈B
よってRの部分環である。
部分整域、部分体も同様。
7 左イデアル。右イデアル。両側イデアル。可換環。部分環。
部分環とイデアル。
部分群と正規部分群。
a-b∈A、ab∈A。AはRの部分環。
8 A≠{0}をFのイデアルとする。Fは体なので逆元を持つ。x∈Fに対してx=ex∈AよりF=A。よってFは真のイデアルを持たない。Fは単項イデアル整域である。
9 同様に、A∩BはRのイデアルである。A∪Bは必ずしもイデアルにはならない。反例。有理整数環Zにおいて(2)(3)の元2、3の和5はそれらのいずれの元でもない。
10
非可換な場合や単位元を持たない場合。有限個の和も同様。帰納法。
11 有理整数環は単項イデアル整域。(a)=aZ。最小性。自然数の整列性。
12 aZ+bZ=gZ、aZ∩bZ=lZ
13 (a)∩(b)=(l)、ab=gl∈(l)
∴(ab)⊆(l)。 1 R/Aは環をなす。加法群R。
2 環準同型写像。零元と反元。
乗法を一旦度外視する。忘却の効用。
3 R→R'において、
R→Im f、ker f→0'。
Im fはR'の部分環。
イデアルの定義。a-b、xa、ax∈R、
4 x≡y (Ker f)、f(x)=f(y)
5 全射。環準同型写像。自然な、標準的。
6 G/K →Im f。環の同型写像。
7 R/R~{0}。R/{0}~R。
8 環準同型写像が存在し、kerf=Aとなること。
9 Z6/Z6、Z6/{024}、Z6/{03}、Z6/{0}。
10 Z/mZ~Zm。環の準同型定理。
11 可換環、単位的環、整域。
零因子。
12 複素数体Cと同型な行列。
対応。2×2。
13 四元数体Hと同型な行列。
4×4。対応。 1 有限体。素体。線型空間
2 n=1とすればよい
3 Fの単位元をeとする。
4 最初つの部分空間
5 共通部分はVの部分空間
合併集合はVの部分空間になるとは限らない。反例はx軸とy軸
6 線型独立
7 線型従属
8 対偶
9 線型従属
10 有限部分集合
11 基底
12 線型結合
13 次元
14 次元と線型従属
15 次元と階数
16 原点、原点を通る直線、原点を通る平面、R^3。 1 係数体F上の線型空間
2 拡大体と部分体
3 有限次拡大、中間体
4 既約多項式の積に分解
5 代数的閉体
6 剰余定理、因数定理
7 有理数体の上で代数的
モニック
8 単純代数拡大、単純超越拡大
9 F上の最小多項式
10 拡大次数
11 平方因子を持たない0、1以外の数。
12 ガウス整数環の商体。
13 2次の拡大体、2次体
14 集合の包含。逆は成り立たない。 1 単射準同型
2 高々[K : F]個である。
3 有限次拡大の不等式
4 自己同型群の有限部分群
ガロア拡大
5 有限次ガロア拡大
6 ガロア理論の基本定理
7 ガロア対応
8 ガロア拡大
9 中間体、ガロア群
10 アーベル拡大、巡回拡大
11 代数的閉包
12 最小多項式の一致。共役
13 正規拡大、分離拡大
根の間の置換。
14 位数。ガロア群 1 ラグランジュの定理
2 フェルマーの小定理の拡張
3 ガロア拡大体
4 一意性
5 乗法群、巡回群、原始根
6 単純代数拡大体
7 標数。素体。
8 原始多項式
9 モニックな既約多項式
10 コート化
11 加法と乗法
12 原始根によるべき表示
13 指数。指数表。
14 偶奇性。情報理論
15 距離、重み。 1
∀a∈Gに対してa○e=e○a=a
ここで、a=eとすると
e○e=e○e=e。よって単位元eの逆元はeである。
2
a○b=b○aのとき両辺の左右からb'をかけると
b'○a○(b○b')=(b'○b)○a○b'
⇔b'○a=a○b'。逆元とも可換である。
3
半群、モノイド、群
二項演算(積、乗法、和、加法)、結合法則、逆元、単位元
a、b∈Zに対してa○b=abと定義する。積はZ上二項演算になる。
(a○b)○c=abc、a○(b○c)=abcより結合法則が成り立つ。
1∈Zは単位元である。
±1以外には逆元は存在しない。よってZは乗法に関して群ではない。 4
a、b∈G=絶対値が1である複素数全体の集合とする。
abに関して|ab|=|a||b|=1が成り立つので二項演算である。すなわち積に関して閉じている。
(ab)c=a(bc)が成り立つので結合法則が成り立つ。
1∈Gであるので単位元が存在する。
a∈Gに対して|1/a|=1/|a|=1より逆元が存在する。
5
Q[√2]-{0}=Q[√2]※とする。
x、y∈Q[√2]※とするとx, y≠0
積xy∈Q[√2]※が確かめられる。
ゆえに乗法に関して閉じている
ac+2bd=0かつad+bc=0
a^2cd=2b^2cd、ad+bc=0
cd≠0とするとa=±√2bよりa=b=0で成り立つ。
c=0の時、a=0、b=0、d=0。
・d=0のときは成り立つ。
・a=0のときはb=0またはd=0
b=0のときは成り立つ。
d=0のときは成り立つ。
・b=0のときa=0またはd=0
a=0のときは成り立つ。
d=0のときは成り立つ。
d=0のときも同様。
よって積も閉じている。
1∈Q[√2]※は単位元である。
a^2-2b^2=0⇔a=±√2b⇔a=b=0
よって逆元が存在する。
よってQ[√2]※は乗法に関して群をなす。
6
Gを加法群とする。
a+x=b、y+a=b。加法は可換であるからx+a=b。x=y。逆演算可能。
a+c=b+c⇒a=b。消去律。 7
Z7〜Z12の加法群としての群表
+
0123456 1234560 2345601 3456012 4560123 5601234
6012345
・
0000000 0123456 0246135
0362514 0415263 0531642
0654321
U(Z7)=Z7*=123456 既約剰余群
3を生成元とする巡回群
U(Z8)=1357 クラインの四元群
U(Z10)=1379
3を生成元とする巡回群
U(Z9)=124578
2を生成元とする巡回群
U(Z12)=15711 クラインの四元群
U(Z11)=12345678910
2を生成元とする巡回群
8 群表からS3。ρ1・ρ2=ρo、
ρ1・ μ2=μ1、μ3・μ2=ρ2
D4'。ρ1・μ2 = δ1、
μ2・δ2 = p3、δ1・ρ2 = δ2
9 群表からD3。r1・r2=ro、
r1・s2=s1、s3・s2=r2
D4。r1・s2=t1、
s2・t2=r1、t1・r2=t2 H=a^nとするとH⊂Q*
1∈H、a⁻¹∈H、xy∈H
部分群
1→12、6、4、3、12、2、12
3、4、6、12、元の位数。単位元は0
単位元は1。i、3−5。 集合X上の演算φ: X×X→X
Gを空でない集合とする。
(1)集合Gの上の演算が定義されている
(2)単位元eの存在
(3)逆元a⁻¹の存在
(4)結合法則
集合Gに群の構造が入る 可換群、アーベル群、加法群、加群
a×b、1、a+b、0
個数|G|をGの位数、有限群、無限群、
加法ℤ、ℚ、ℝ、ℂ、0、−x
乗法ℚ\{0}、ℝ\{0}、ℂ\{0}、1
x⁻¹
乗法表、a￮a=a、b￮b=a、
a￮b=b、b￮a=b
aは単位元、逆元は自分自身
可換群、
(a￮b)￮c=a￮(b￮c)
3個e→○、2個e→○、1個e→○
0個e(3個b)→○
位数2の有限群
x((yz)w)=x(y(zw))=(xy)(zw)
231 321 132 312
213 123
(x(yz))w=((xy)z)w xYzxyx=1
yX²YX
1e=1、1e=eよりe=1
(ba)c=b(ac)よりc=b
(BA)(ab)=B(Aa)b=Bb=1
(ab)(BA)=a(bB)A=aA=1
(aA)=()Aa=1よりA⁻¹=a
全単射、置換の積
idₓ恒等写像、Xの置換群
Sₙ n次対称群、 一般線型群GLₙ(ℝ)
正則行列全体の集合
GLₙ(ℂ)、1ₙ、Aₙ⁻¹、Aₙ
(i j)、互換、長さnの巡回置換
σ=4321、τ=2314
σ￮τ=1234→τ→2314→σ→3241 正規部分群ですが、ググると
gHg-1 と
g-1Hg
と両方が出てきます。
どっちが正しいのでしょうか では、aのpに関する共役元、pで変換した元と言ったら
b = pap-1 か
b = p-1ap か
どっちですか
今プログラムを作っているのですが、どっちにしようか迷っています
厳密にはどっちかに決まっていると思うのですが >>84
一方がpによる変換で他方がp^(-1)による変換
どちらをpによる変換と定義しようが、自分の中で首尾一貫していれば何も困らないのでは？ 置換、置換群、次数、逆置換、巡回置換、互換、偶置換、奇置換、n次の対称群Sₙ、位数n!、交代群Aₙ、偶置換の全体、位数n!/2 1 置換の総数はn!個ある
1→n個、2→n-1個、…、n→1個より
n!個
2 a=2143、b=2341の時,
ba=a→b=1432、
ab→b→a=3214
定義の問題、右から始める
非可換であることが分かる 3
e=123=(1)、
c=213(12) d=321(13) f=132=(23)
a=231=(123)、b=312=(132)、
恒等置換1個、互換3個、巡回置換2個
3次の対称群S₃は位数最小の非可換群
eab cdf
abe fcd
bea dfc
cdf eab
dfc bea
fcd abe
a=(2143)、b=(2341)、ab=(3214)
a=(12)(34)、b=(1234)
2143→3214
4
4673512
σ⁻¹=6741523 5
(1) aᵐ=e
1回で1個ずれる。m回でm個ずれて元に戻る。
(2) a⁻¹=(m…1)
(3) a=(12)(13)…(1m)
長さmの巡回置換の位数はm
(1…m)(m…1)=eより(m…1)=(1…m)⁻¹
a=(1234)
2134→3124→4123=(1234)
→4213→4312→4321 6
(ij)=(1i)(1j)(1i)
()ij⁻¹=(ij)
(ij)(ij)=e
i…1j…→j…1i…→1…ji…
7
₄C₂=6個。12、13、14、23、24、34
A₄=4!/2=12個
e、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)
(123)、(132)、(124)、(142)、
(134)、(143)、(234)、(243)
恒等置換1個、互換3個、
3個の巡回置換は8個で計12個になる。 8
共通文字を含まぬ場合は置換a、bの作用は独立であるから順序によらなきすなわち可換である
ab=ba
9
巡回置換aを1に作用させる。1から始まる長さm₁の巡回置換が出来る。それを取り除き残った中で最小の番号に対して同じ操作行う。この操作を番号が残らなくなるまで行うことが出来る。出来上がった互いに同じ番号を含まない循環置換の席として表すことが出来る
長さ1→操作は不要
長さ2→(ij)=(1i)(1j)(1i)
長さ3以上→(23…m1)=(12)(23)…(m-1)
(m12…m-1)=(12)(13)…(1m)
10
任意の置換は恒等置換、互換、巡回置換の積として表すことが出来る。任意の巡回置換は互換の積として表すことが出来る 11
285139647=(12)(18)(14)(35)(69)(67)
562971438=(15)(17)(14)(19)(18)(13)(12)(16)
57498326
12
差積⊿に互換(ij)を作用させると
x₁-xⱼ→-(x₁-xⱼ)と符号が変わる。
⊿に置換aを作用させると
置換8互換の積として表されるからa=+⊿または-⊿。互換の回数と符号変化の回数は一致するから
偶置換ならば+⊿、奇置換ならば-⊿となり互換の回数や順番は決まらなくても偶奇性はaによって決まる。
14
偶置換全体の集合をX、奇置換全体の集合をYとする。
Y=∅ならば題意を満たす。
Y≠∅ならば
∀x₁, x₂∈X、∀y∈Y、
x₁y≠x₂yとなる。
x₁=(12)(34)、x₂=(14)(23)
y=(12)とすると
1243、4312
x₁≠x₂の時, ∃k、x₁⁻¹(k)≠x₂⁻¹(k)となる。
x₁⁻¹(1)=2、x₂⁻¹(1)=3、y(1)=4とすると
2→1→4、3→1→4となり
x₁y≠x₂y
++→+、--→+、+-→-
∀a∈Sₙ、a⁻¹が存在する。aは全単射である。
①②③④⑤67中への単射
単射非全射×○
①②③4567中への非単射
非全射非単射××
①②③④⑤上への単射=全単射○○
1②③上への非単射=全射非単射○× ∀a∈Sₙ、a⁻¹が存在する。
x₁, x₂, a∈Sₙ、x₁≠x₂の時,
x₁a=x₂a⇔xᵢaa⁻¹=x₂aa⁻¹⇔x₁=x₂
とかり矛盾。よってx₁≠x₂⇒x₁a≠x₂a
すなわちこの写像は単射である。
x∈Gₙ、a∈Kₙとすると|Gₙ|≦|Kₙ|
逆に∀y₁, y₂∈Kₙ、∃a∈Kₙ、
y₁≠y₂、y₁a, y₂a∈Gₙ、y₁a≠y₂aより
|Gₙ|≧|Kₙ|、よって|Gₙ|=|Kₙ|=n!/2となる。 さCaleyの定理、巡回群Cₙ、
D₂ kleinの4元群、fによって不変→対称である、対称変換、対称変換群、Dₙ、n次の二面体群 、
Dₙ=Cₙ∪Cₙb、|Dₙ|=2n
テトラ、ヘキサ、オクタ、
ドデカ、イコサ、アイコサ
A₄、S₄、S₄、A₅、A₅ 1
群表=Cayley表
∀g∈G、(aᵢ)→(aᵢg)とする。
2
x=3、y=4
4
C₄
a⁰=(1)、a¹=(1234)、
a³=(13)(24)、a⁴=(1432)
5
D₂
e=(1)、a=(13)(24)、b=(12)(34)
c=(14)(23)
対称変換群、長方形、菱形
辺の中点を結んだ直線に関する対称性、対角線に関する対称性
恒等変換 6
D₂、D₁={e, b}b²=e
裏返しをbとする
Dₙ=Cₙ∩Cₙb、|Dₙ|=2n
表側の対称変換はCₙ={e, a, a², aⁿ⁻¹}
裏側の対称変換はCₙb 7
正三角形の対称変換群
正三角形の表側だけの対称変換群
S₃≅D₃、A₃≅C₃ 1408
e、{1234}、a²={13}{24}
a³={1432}
41234と4321
b=12と34
ab=4123→1432、
a²b=3412→432 1
a³b→2341→3214
3次対称群S₃
置換の個数、位数3!=6個。
二面体群D₃
正多角形の対称性
回転と鏡映、位数2n=6個
3次交代群A₃
偶置換全体の集合n!/2=6/2=3個
123 231 312
巡回群C₃
位数は3
D₄の位数2n=8。C₄が4個、bC₄が4個 