No.51
もし多項式時間が数式に解法なく言語式など計算できない仕組みでしか解けないなら
勉強苦手
もし多項式時間が数式に解法なく言語式など計算できない仕組みでしか解けないなら
勉強苦手
5次方程式の解を表現できる数体系
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概要: 5次方程式は多項式時間であり もし多項式時間が数式に解法なく言語式など計算できない仕組みでしか解けないなら 勉強苦手
もし多項式時間が数式に解法なく言語式など計算できない仕組みでしか解けないなら
勉強苦手
No.52
残念ながらまだ解けていません。
分解式が正しいだろうという事は信じているのですが、四次方程式から次数が１つ上がった
だけなのに、それまでよりもとても複雑になっているようで、一筋縄ではいきません。
さらに計算量がやたらと多く、おそらくは数百万項の文字式を整理しなければならなくなり
そうなど、尋常ではない感じです。
No.53
「ラグランジュの方程式の解法の研究の書かれた著作」（題名なんだっけ？）
の原著はたぶんフランス語なんだろうが、それの完全な日本語訳が
どこかから出版されないかな。低次方程式の根の公式を根の置換
による不変性などに基づいて分析した内容で、4次方程式までは
既存の公式を見事に再導出できることをしめしたが、5次方程式に
それを適用すると、120次の方程式が因数分解できて60次までには
なるが、それから先に進めることができずに終わっているという
ものらしいけれども。ガウスはそれを読んで円周等分方程式の
べき根解法にたどり着いたのだろう。
No.54
No.55
ガウスの円分方程式論の契機となったのは、円分体のガロア群（に相当するもの）の発見。
ラグランジュ分解式は名前こそ「ラグランジュ」と付いているが
ガロア群との組み合わせで用いる方法はおそらくガウスの独創。
ガロア原論文にも出てくるし、「ガウス氏の方法」という言葉も
複数回現れるが、ラグランジュの名前はない。
No.56
>アーベル–ルフィニの定理は間違っていると思う。
間違っていると言うなら、どこに証明の穴があるかを指摘すればいいだけ。
が、そもそも証明を理解する学力がない。
要するにこのトンデモさんは、自分の学力の限界である
「数式変形ゲーム」の延長で、宝くじに当たるかのように
奇跡の解法に到達することを妄想したいだけだろう。
アーベルの証明は、「そんな解法はない」ことを証明している。
No.57
>120次の方程式が因数分解できて60次までには
>なるが、それから先に進めることができずに終わっているという
>ものらしいけれども。
と
>ガウスはそれを読んで円周等分方程式の
>べき根解法にたどり着いたのだろう。
が繋がらない。
前者の、60次から下げられないのは、60次の交代群=非可解単純群
が障害となるからであり、これはどうやっても巡回群の
組成列に分解することはできないから。（これは今日の知見ではあるが）
後者の発見は、ラグランジュも驚いたように、おそらくガウスの独創が大きい。
これは、さらに「方程式がべき根で解ける仕組み」を鮮やかに
解明しており、後のアーベルの研究やガロア理論にも繋がる。
なお、高瀬正仁氏によると、ラグランジュは一般5次方程式が
べき根で解けると考えていたようだが、ガウスは早々に不可能性
を予想していたとのこと。
No.58
→位数60の5次交代群ね。
No.59
一方で、ガウスが研究した「円分方程式」は
特殊な数係数方程式の無限個からなる系列。
ガウスはべき根解法のアルゴリズムを示しているが
単純な「公式」で解があらわされるわけではない。
（解の一般形はある。）
これは「公式バカ」には分かりにくい点だろう。
No.60
「P=2π/11とおいたとき
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11
の両辺において、Pをa倍 (a=2,...,10)すると何が起きるか？
→ ±1倍の違いが生じる。
これは、ガロア群が√11にも作用するから。
そして、この値は実はルジャンドル記号(a/11)に等しい。
すなわち
sin(aP)/√11="(a/11)"(1-cos(aP)+2cos(3aP)-2cos(5aP))/11.
（ただの分数と区別するために" "で示した。）」
11以外にも、一般にp≡3 (mod4)なる素数の場合に同様の計算が可能。
このとき、√pを用いたsinのcosによる相対2次表現の符号に
ルジャンドル記号があらわれる。
ルジャンドル記号
https:
このように、単に符号であっても詳しく調べれば
デリケートな（数論的な）量があらわれてくるのである。
当時このような現象まで含めて捉えていたのはガウスだけだったのでは。
No.61
P=2π/3のとき
√3 sin(nP)=(n/3)(1-cos(2nP))
P=2π/7のとき
√7 sin(nP)=(n/7)(1+cos(nP)-2cos(2nP))
P=2π/11のとき
√11 sin(nP)=(n/11)(1-cos(nP)+2cos(3nP)-2cos(5nP))
P=2π/19のとき
√19 sin(nP)=(n/19)(1-cos(nP)-2cos(2nP)+2cos(3nP)+2cos(4nP)-2cos(7nP))
P=2π/23のとき
√23 sin(nP)=(n/23)(1+con(nP)-2cos(4nP)+2cos(8nP)-2cos(9nP)-2cos(10nP)+2cos(11nP))
いくらでも計算できる。
No.62
No.63
これにより未知数同士の間の、対称性の問題が無くなった。
さらに巡回置換の際に掛ける符号も、5乗せずとも上手く消えてくれるようになった。
"A+B+C"の値は既に求められたので、後は"AB+AC+BC"と"ABC"を求めれば良い。
しかし、
>>52
で書いた数百万項は大袈裟過ぎたとしても、それより大分少ないとはいえ
文字式の整理が（自分にとっては）地獄の作業なのに変わりはなく、取り掛かる気力が
湧かない。
もう殆どゴールまでの道筋が見えているというのに。
自動で文字式の変形と整理をしてくれるソフトでも無いだろうか。
No.64
No.65
No.66
No.67
No.68
Theorem 11 (The quintic formula). The quintic equation
c0 − c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 = 0
has a formal series solution:
x = 煤@{ (2m2 + 3m3 + 4m4 + 5m5)! c0^(1+m2+2m3+3m4+4m5) c2^m2 c3^m3 c4^m4 c5^m5 }/ {(1 + m2 + 2m3 + 3m4 + 4m5)! m2!m3!m4!m5!c1^(1+2m2+3m3+4m4+5m5) }
m2,m3,m4,m5≥0
This also contains a solution to the general quadratic, cubic, and quartic equations.
https:
No.69
五次方程式は既に解かれているという事ですか？
No.70
No.71
私は
>>68
の内容を理解できないので教えて欲しいのですが、それは代数的に
という事でしょうか？
もしそうだとしたら凄い事だと思うのですが、数学界には既に知られている
のでしょうか？
No.72
解の各項は代数的(四則演算のみ)だが
その総和は無限級数だから
代数的には解かれてはいない
5次方程式に新公式を発見：ルートを超える新理論 - ナゾロジー
2025.05.14
No.73
→
解はその総和の無限級数だから
No.74
収束はしないが漸近的であるなんてのがあったらおもろいかも
No.75
ないという事で正直ホッとした。
No.76
どこが可笑しいポイントかというと・・・
No.77
4要素の巡回置換は奇置換ですよね。解の公式を作る際に、最初の
差積を採る段階で奇置換の対称性は崩れている筈なのに、また奇置換の
対称性を問題にするのはおかしくないですか?
No.78
exp(2iπ/11)=cos(2π/11)+isin(2π/11)=
-1/10
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
+1/40(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
+i/10√(55
-5(-11/4(89+25√5+(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
-5/4(-1+√5-i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5+(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5)
-5(-11/4(89+25√5-(45√(5-2√5)-5√(5+2√5))i))^(1/5)
-5/4(-1+√5+i√(10+2√5))(-11/4(89-25√5-(45√(5+2√5)+5√(5-2√5))i))^(1/5))
No.79
-1/10
+1/40(-1+sqrt(5)+isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)+(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
+1/40(-1+sqrt(5)+isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)+(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i))
+1/40(-1+sqrt(5)-isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)-(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
+1/40(-1+sqrt(5)-isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)-(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i))
+i/10sqrt(55
-5root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)+(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
-5/4(-1+sqrt(5)-isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)+(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i))
-5root(5)(-11/4(89+25sqrt(5)-(45sqrt(5-2sqrt(5))-5sqrt(5+2sqrt(5)))i))
-5/4(-1+sqrt(5)+isqrt(10+2sqrt(5)))root(5)(-11/4(89-25sqrt(5)-(45sqrt(5+2sqrt(5))+5sqrt(5-2sqrt(5)))i)))
No.80
\exp{{\left(\frac{{{2}{i}\pi}}{{11}}\right)}}= \cos{{\left(\frac{{{2}\pi}}{{11}}\right)}}+{i}\sin{{\left(\frac{{{2}\pi}}{{11}}\right)}}=
-\frac{1}{{10}}+\frac{1}{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}+{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}
\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}+\frac{1}{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}+{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac
{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}+\frac{1}{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}-{i}\sqrt{{{10}+
{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}+\frac{1}
{{40}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}-{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-
{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}
+\frac{i}{{10}}\surd{\left({55}-{5}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}-\frac{5}{{4}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}-{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}+{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}-{5}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}+{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}-{5}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}-\frac{5}{{4}}{\left(-{1}+\sqrt{{{5}}}+{i}\sqrt{{{10}+{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{\sqrt[{{5}}]{{-\frac{11}{{4}}{\left({89}-{25}\sqrt{{{5}}}-{\left({45}\sqrt{{{5}+{2}\sqrt{{{5}}}}}+{5}\sqrt{{{5}-{2}\sqrt{{{5}}}}}\right)}{i}\right)}}}}\right)}
No.81
何か良い方法は無いだろうか。
No.82
No.83
問題なのは、計算量の酷さだけだと思う。
