No.1
リーマン・ルベーグの補題
レス数: 14
概要: リーマン・ルベーグの補題について
No.2
絶対可積分でない世界を
No.3
No.4
∫_{a}^{b}f(x)g(x) dx
= Σ_{i=0}^{n-1}∫_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)g(x) dx.
x_i ≤ λ_i ≤ x_{i+1}を、[x_i, x_{i+1}]で|f|が最大値を取る点とすると
|∫_{x_i}^{x_{i+1}}f(x)g(x)dx| ≤ |f(μ_i) ∫_{x_i}^{x_{i+1}}g(x)dx|.
No.5
No.6
No.7
No.8
No.9
t→+∞の時、A→0となる。
a=bの時は自明。a<bとする。
fはI上可積分なので∀ε>0, ∃δ>0: d(Δ)<δとなるような、有界閉区間Iの∀分割Δに対して0≤S(Δ)-s(Δ)<ε/2となる。
fはI上可積分なのでI上有界である
No.10
∀x∈I, ∃M>0: |f(x)|≤Mとなる
∀t>0, x∈I: |sintx|≤1かつ|costx|≤1
これらを満たす分割Δを1つ固定する。
|A|=|∑[k=1, n] ∫ xₖ₋₁, xₖ-f(xₖ)+f(xₖ))g(x)dx
No.11
+|∑[k=1, n]| ∫ xₖ₋₁, xₖ)g(x)dx|
≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| ∫ xₖ₋₁, xₖ)g(x)dx|
No.12
≤∑[k=1, n] | [Mₖ, mₖ] |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| ∫ xₖ₋₁, xₖ)sintxdx|
=∑[k=1, n] |Mₖ,-mₖ| |xₖ-xₖ₋₁|
+|∑[k=1, n]| (costxₖ₋₁-cosxₖ)(M/t)
No.13
分割Δを1つ固定したのでnは一定である
t₀=4Mn/εと置くと
∀t≥t₀: |A|<ε/2+ε/2=εとなる
g(x)=costxの時も同様である
No.14
S(n)=∑[k=1, n] (1/n)/(1+(k/n)²)
区間[0, 1]=Iとする。
f(x)=1/(1+x²)とするとfはI上連続または単調減少なので可積分である。
S(n)はf(x)の、Iの1つの分割Δₙに対する1つのRiemann和である(n等分、代表点ξₖ=k/n)
n→+∞の時、S(n)=∑f(ξₖ)Δₙ
→∫[0, 1]dx/x²+1=Arctan1-Arctan0
=π/4-0=π/4
