このような、数学とは全く無関係の、猥褻物陳列罪に相当する珍問は
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で解決しよう！
質量がmである2つの小さな物体AとBを、自然長L、ばね定数kの重さが無視できるばねの両端につける。それを、物体Aが鉛直な壁に接するように、水平な床の上に置く。図に示すように、物体Bに力を加えてばねを自然長から長さlだけゆっくり縮め、瞬時に力を除く。物体Aが壁から離れた後、ばねの中点Pから見て、物体Aと物体Bはそれぞれ単振動する。物体の運動に関する以下の問いに答えよ。ただし、床と壁は平らでなめらかである。
この問題の肝は実験室系から見た2つの物体はかなり複雑な運動をするが、重心から見ると互いに対称的な単振動をするということである。つまり、われわれがこの2物体の運動を実際に見るときは、実験室系で観測することになるが、そのとき2物体の運動は決して左右対称ではない。(a)を解くことで、まずそれがわかる。
以下の解答ではすべて実験室系で式を立てている。
(a) 物体Aが壁から離れるときの物体Bの速さv_0を求める。
物体Aの最初の位置を原点にとってx軸を考え、物体Bの位置をxとする。ばねの縮みはL-xなので物体Bには右向きに弾性力が働く。加速度をaとしたとき物体Bの運動方程式は、
ma=k(L-x)= -k(x-L)
a=-k/m (x-L)
これは、自然長の位置Lを振動中心とする角振動数√(k⁄m)の単振動を表す。
物体Aは壁から離れる瞬間まで静止している。物体Aに働く力は、ばねから受ける左向きの弾性力-k(L-x)と壁から受ける右向きの垂直抗力Nなので、両者の力のつり合いより、
N=k(L-x)
物体Aが壁から離れる瞬間にN=0となるから
k(L-x)=0 ∴x=L
つまり、物体Aが壁から離れる瞬間に（Aの速さは0）、ばねの長さは自然長Lで、物体Bは単振動の振動中心にあるから速さが最大になる。したがって実験室系から見たAとBの動きは、全然対称的ではないことがわかる。
最初に長さlだけ縮めて瞬時に力を除いたので単振動の振幅はl。
したがってω=√(k⁄m)とおくと ma=-k(x-L) の一般解は
x=lsin(ωt+α) v=dx/dt=lωcos(ωt+α)
Bは単振動の振動中心にあるのだから
v_0=lω=l√(k⁄m) このような、数学とは全く無関係の、猥褻物陳列罪に相当する珍問は
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で解決しよう！
なめらかな水平面上に質量Mの長い板Bが静止している。いま、Bの左端に質量mの小物体Aを乗せ、Aに右向きに初速度v_0を与えた。
AとBの間の動摩擦係数をμ'、重力加速度の大きさをg、右向きを正、AはBから落ちないものとして、次の問に答える。
(1) A、Bの加速度を求める。
(2) AがBの上を滑り続けた時間はいくらか。
(3) A、Bの速度はいくらになったか。 このような、数学とは全く無関係の、猥褻物陳列罪に相当する珍問は
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で解決しよう！
x ̈(t)+2ζω_n x ̇(t)+〖ω_n〗^2 x(t)=Hsin(λt) , x(0)=0, x ̇(0)=0
L[Hsin(λt) ]=Hλ/(s^2+λ^2 )
L[x ̈(t)]=s^2 X(s)-sx(0)- x ̇(0)=s^2 X(s)
2ζω_n L[x ̇(t)]=2ζω_n (sX(s)-x(0))=2ζω_n sX(s)
〖ω_n〗^2 L[x(t)]=〖ω_n〗^2 X(s)
L[x ̈(t)]+2ζω_n L[x ̇(t)]+ 〖ω_n〗^2 L[x(t)]
=s^2 X(s)+2ζω_n sX(s)+ 〖ω_n〗^2 X(s)
=X(s)(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )=Hλ/(s^2+λ^2 )
X(s)=Hλ/(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )(s^2+λ^2 )
s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2=0
s=(-2ζω_n±√(4ζ^2 〖ω_n〗^2-4〖ω_n〗^2 ))/2=(-2ζω_n±√(4〖ω_n〗^2 (ζ^2-1) ))/2
=(-2ζω_n±2ω_n √(ζ^2-1))/2=-ζω_n±ω_n √(ζ^2-1)
ζ>1のときを考え、2つの解を実数α、βとおく。ω_n>0なので
α=-ζω_n+ω_n √(ζ^2-1)=ω_n (√(ζ^2-1)-√(ζ^2 ))<0
β=-ζω_n-ω_n √(ζ^2-1)<0
α、βは負の実数である。 このような、数学とは全く無関係の、猥褻物陳列罪に相当する珍問は
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1/(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )=1/(s-α)(s-β) =A/(s-α)+B/(s-β)
1=A(s-β)+B(s-α)
s=β⇒B(β-α)=1 B=1/(β-α)=-1/(α-β)
s=α⇒A(α-β)=1 A=1/(α-β)
1/(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )=1/(α-β) (1/(s-α)-1/(s-β))
X(s)=Hλ/(s^2+2ζω_n s+〖ω_n〗^2 )(s^2+λ^2 ) =1/(α-β) (1/(s-α)-1/(s-β)) Hλ/(s^2+λ^2 )
=Hλ/(α-β) (1/(s-α)-1/(s-β)) 1/(s^2+λ^2 )
=Hλ/(α-β) (1/(s-α)(s^2+λ^2 ) -1/(s-β)(s^2+λ^2 ) )
1/(s-α)(s^2+λ^2 ) =A/(s-α)+(Bs+C)/(s^2+λ^2 )
1=A(s^2+λ^2 )+(Bs+C)(s-α)
s=α⇒A(α^2+λ^2 )=1 ∴A=1/(α^2+λ^2 )
s=0⇒Aλ^2-Cα=1
Cα=Aλ^2-1=λ^2/(α^2+λ^2 )-1=(λ^2-(α^2+λ^2 ))/(α^2+λ^2 )=(-α^2)/(α^2+λ^2 ) ∴C=(-α)/(α^2+λ^2 )
s=1⇒A(1+λ^2 )+(B+C)(1-α)
=(1+λ^2)/(α^2+λ^2 )+(B-α/(α^2+λ^2 ))(1-α)=1
(B-α/(α^2+λ^2 ))(1-α)=1-(1+λ^2)/(α^2+λ^2 )
B-α/(α^2+λ^2 )= 1/(1-α)-(1+λ^2)/(1-α)(α^2+λ^2 )
∴B=α/(α^2+λ^2 )+1/(1-α)-(1+λ^2)/(1-α)(α^2+λ^2 )
=(α(1-α)+α^2+λ^2-1-λ^2)/(1-α)(α^2+λ^2 ) =(α-1)/(1-α)(α^2+λ^2 ) =(-1)/(α^2+λ^2 ) >>45
> 意味がわかりません。
フェルマーの最終定理を証明する人のためのルールとして
証明の正しさを主張するために
フェルマーの最終定理を使ってはいけない
xが有理数にならないことを使ってはいけない
反例がないことを使ってはいけない
ということは最低限守らなければいけないことですがあなたは都合が悪くなるといつもこれらを使うのでルール違反で失格です このような、数学とは全く無関係の、猥褻物陳列罪に相当する珍問は
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で解決しよう！
したがって
1/(s-α)(s^2+λ^2 ) =A/(s-α)+(Bs+C)/(s^2+λ^2 )=A/(s-α)+Bs/(s^2+λ^2 )+C/(s^2+λ^2 )
=1/(α^2+λ^2 ) 1/(s-α)-1/(α^2+λ^2 ) s/(s^2+λ^2 )-α/(α^2+λ^2 ) 1/(s^2+λ^2 )
=1/(α^2+λ^2 ) (1/(s-α)-(s+α)/(s^2+λ^2 ))
まったく同様にして
1/(s-β)(s^2+λ^2 ) =1/(β^2+λ^2 ) (1/(s-β)-(s+β)/(s^2+λ^2 ))
したがって
X(s)=Hλ/(α-β) (1/(s-α)(s^2+λ^2 ) -1/(s-β)(s^2+λ^2 ) )
=Hλ/(α-β)∙1/(α^2+λ^2 ) (1/(s-α)-(s+α)/(s^2+λ^2 ))-Hλ/(α-β)∙1/(β^2+λ^2 ) (1/(s-β)-(s+β)/(s^2+λ^2 ))
これでようやくラプラス逆変換する準備ができた。式が長いので第1項と第2項を別々に逆変換する。使う公式は
L[e^ωt ]=1/(s-ω) L[cos(ωt)]=s/(s^2+ω^2 ) L[sin(ωt)]=ω/(s^2+ω^2 )
L[Hλ/(α-β)∙1/(α^2+λ^2 ) (1/(s-α)-s/(s^2+λ^2 )-α/(s^2+λ^2 ))]
=L[Hλ/(α-β)∙1/(α^2+λ^2 ) (1/(s-α)-s/(s^2+λ^2 )-α/λ∙λ/(s^2+λ^2 ))]
=Hλ/(α-β)∙1/(α^2+λ^2 ) (e^αt-cos(λt)-α/λ sin(λt))
第2項も同様にして
L[Hλ/(α-β)∙1/(α^2+λ^2 ) (1/(s-β)-s/(s^2+λ^2 )-β/(s^2+λ^2 ))]
=Hλ/(α-β)∙1/(β^2+λ^2 ) (e^βt-cos(λt)-β/λ sin(λt))
x(t)=L^(-1) [X(s)]
=Hλ/(α-β) (1/(α^2+λ^2 ) (e^αt-cos(λt)-α/λ sin(λt))-1/(β^2+λ^2 ) (e^βt-cos(λt)-β/λ sin(λt)))∙∙∙∙∙∙∙ 
