No.1
4: 高木貞治 『解析概論』 (303)
レス数: 54
概要: 高木貞治 『解析概論』
No.251
b > 0, a > -b とするべきです。
No.252
第3版のハードカバー製本のやつが自分はベストだと思います。
No.253
おかしい
No.254
くもり
No.255
おかしいのは高木貞治さんのほうです。
No.256
なぜ？
No.257
どのように変遷したかを詳細に調査研究
すれば数学教育関係の論文を書けるかも
しれないな。
No.258
定本解析概論のp.35練習問題(1)の(6)を解いた後に同じようなことが笠原さんの本に出ていたのを思い出して確認してみました。
誤りがあるのは、有界集合 A で一様連続な関数 f を closure(A) で連続な関数に一意的に拡張できるという定理の証明です。
まず指摘したいのが A は有界でなくてもいいということです。ここがまずおかしいですね。
次に、 A の元でない点 a ∈ closure(A) をとり、 a での f の値を定義しています。これは問題ありません。
次に、 f が a で連続であると書いていますが、笠原さんが示したことは、 A ∪ {a}上の関数 f が a で連続であるということだけです。
示したいことは、 f が closure(A) で連続であることです。
No.259
f : [a, b] ∩ Q → R を一様連続な関数とする。
f は [a, b] において連続な関数 g に拡張できる。
証明：
x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
Q の稠密性により、 x は [a, b] ∩ Q の集積点であるから、 [a, b] ∩ Q の点列 {x_n}で x に収束するようなものが存在する。
ε を任意の正の実数とする。f は一様連続であるから、正の実数 δ で、
x, y ∈ [a, b] ∩ Q かつ |x - y| < δ ⇒ |f(x) - f(y)| < ε/3 が成り立つようなものが存在する。
{x_n}はコーシー列であるから、 m, n ≧ N ⇒ |x_m - x_n| < δ を満たすような N が存在する。
m, n ≧ N ⇒ |f(x_m) - f(x_n)| < ε/3 < ε である。
よって、 {f(x_n)}はコーシー列である。
よって、 {f(x_n)}はある実数 l に収束する。
この l が点列 {x_n}の選び方に依存しないことは容易にわかる。
g(x) := l と定義する。
また、x ∈ [a, b] ∩ Q であるときには、g(x) := f(x) と定義する。
これで、 g : [a, b] → R が定義できた。
No.260
(1) x ∈ [a, b] ∩ Q とする。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
x, y ∈ [a, b] ∩ Q であるから、 |g(y) - g(x)| < ε/3 < ε である。
y ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n}で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ, x + δ) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。
(2) x ∈ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n}で x に収束するようなものが存在する。
x_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_n) - g(x)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y) - g(x_n)| + |g(x_n) - g(x)| < (2/3)×ε < ε である。
y ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ (R - Q) とする。
[a, b] ∩ Q の点列 {x_n}で x に収束するようなものが存在する。
x_m ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(x_m) - g(x)| < ε/3 を満たす m が存在する。
[a, b] ∩ Q の点列 {y_n}で y に収束するようなものが存在する。
y_n ∈ (x - δ/2, x + δ/2) ∩ [a, b] ∩ Q かつ |g(y_n) - g(y)| < ε/3 を満たす n が存在する。
|g(y) - g(x)| ≦ |g(y_n) - g(y)| + |g(y_n) - g(x_m)| + |g(x_m) - g(x)| < ε である。
(1), (2)から g は連続である。
No.261
No.262
x^y (x, y は正の有理数)は有界な区域で一様連続であると書いてあります。
これはどうやって示しますか？
No.263
No.264
もっと詳しく書いてください。
No.265
ドキュメント７２で
インタビューされた人が
棺桶に入れてほしい本として
これをあげていた
No.266
No.267
No.268
切れている。いくつかの本（整数論の本
だったと思う）は英語版が出ているらしい。
なぜ解析概論が英訳されていないのかは
わからない。同様の本が英語圏には多くて
需要が無いと考えられるのかもしれないね。
No.269
No.270
No.271
いつ放送のドキュメント７２ですか？
No.272
No.273
No.274
研究社の大英和
No.275
小雨
No.276
小雨
No.277
No.278
https:
No.279
晴れ
No.280
くもり
No.281
くもりのち晴れ
No.282
No.283
No.284
No.285
大学を卒業する前に
やっと読めたとおっしゃった
No.286
No.287
No.288
No.289
No.290
No.291
弥永先生の『幾何学序説』(1968)だったと思うが
残っていないようだ。
梶原先生の『複素関数論』(1968)は2007年に復刊されている。
No.292
作用素環論の誰かが
中学時代には読めていたようだ
No.293
No.294
https:
No.295
No.296
No.297
小笠原村に核ゴミ…
No.298
No.299
木曜日
